Номер 559, страница 114 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус цилиндра: $R = 10 \text{ м}$
Коэффициент трения покоя: $\mu = 0,25$

Найти:

$v_{min}$ — модуль минимальной скорости

Решение:

Для того чтобы мотоциклист двигался по внутренней поверхности вертикальной стены и оставался в одной горизонтальной плоскости, сумма всех сил, действующих на него, должна обеспечивать необходимое центростремительное ускорение, а в вертикальной плоскости силы должны быть скомпенсированы.

На мотоциклиста (вместе с водителем) массой $m$ действуют три силы:
1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры $N$, действующая со стороны стены. Она направлена перпендикулярно поверхности, то есть горизонтально к центру окружности, по которой движется мотоциклист.
3. Сила трения $F_{тр}$, действующая со стороны стены. Поскольку сила тяжести тянет мотоциклиста вниз, сила трения направлена вертикально вверх, препятствуя соскальзыванию.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную ось (направленную к центру окружности) и вертикальную ось.

По горизонтальной оси:
Сила нормальной реакции $N$ является единственной силой, направленной к центру, и она сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$.
$N = ma_c = m\frac{v^2}{R}$

По вертикальной оси:
Для того чтобы мотоциклист не соскальзывал вниз, сила трения $F_{тр}$ должна уравновешивать силу тяжести $F_g$.
$F_{тр} = mg$

Сила трения покоя не может превышать своего максимального значения, которое определяется как $F_{тр.max} = \mu N$. Таким образом, для удержания мотоциклиста на стене должно выполняться условие:
$F_{тр} \le F_{тр.max}$

Подставляя выражения для сил, получаем:
$mg \le \mu N$

Теперь подставим в это неравенство выражение для силы нормальной реакции $N$:
$mg \le \mu \left(m\frac{v^2}{R}\right)$

Минимальная скорость $v_{min}$ соответствует граничному условию, когда сила трения равна максимальной возможной силе трения покоя. В этом случае неравенство превращается в равенство:
$mg = \mu \frac{mv_{min}^2}{R}$

Массу $m$ можно сократить. Выразим из этого уравнения $v_{min}$:
$g = \frac{\mu v_{min}^2}{R}$
$v_{min}^2 = \frac{gR}{\mu}$
$v_{min} = \sqrt{\frac{gR}{\mu}}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$ и подставим числовые значения:
$v_{min} = \sqrt{\frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м}}{0,25}} = \sqrt{\frac{100}{0,25}} \text{ м/с} = \sqrt{400} \text{ м/с} = 20 \text{ м/с}$

Ответ: модуль минимальной скорости мотоциклиста должен быть равен $20 \text{ м/с}$.