Номер 582, страница 118 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса первого груза, $m_1 = 0,2$ кг

Приложенная сила в первом случае, $F = 4$ Н

Масса второго груза, $m_2 = 0,4$ кг

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Отношение модулей ускорений $\frac{a_1}{a_2}$

Решение:

Задача состоит из двух частей. Сначала найдем ускорение груза $m_1$ для каждого случая отдельно, а затем найдем их отношение.

а) Движение груза $m_1$ под действием силы $F$ (рис. 109, а)

Рассмотрим силы, действующие на груз $m_1$. Вверх направлена сила натяжения нити $T_1$, а вниз — сила тяжести $m_1g$. Поскольку к нити приложена сила $F$, то сила натяжения нити будет равна этой силе: $T_1 = F$.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение. Запишем уравнение в проекции на вертикальную ось OY, направленную вверх:

$m_1a_1 = T_1 - m_1g$

Подставив $T_1 = F$, получаем:

$m_1a_1 = F - m_1g$

Выразим из этого уравнения ускорение $a_1$:

$a_1 = \frac{F - m_1g}{m_1}$

Подставим числовые значения:

$a_1 = \frac{4 \text{ Н} - 0,2 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{0,2 \text{ кг}} = \frac{4 \text{ Н} - 2 \text{ Н}}{0,2 \text{ кг}} = \frac{2 \text{ Н}}{0,2 \text{ кг}} = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

б) Движение груза $m_1$ с помощью груза $m_2$ (рис. 109, б)

В этом случае мы имеем дело с системой связанных тел, известной как машина Атвуда. Поскольку масса $m_2$ больше массы $m_1$ ($0,4 \text{ кг} > 0,2 \text{ кг}$), груз $m_2$ будет двигаться вниз, а груз $m_1$ — вверх. Модули их ускорений будут одинаковы и равны $a_2$. Сила натяжения нити $T_2$ также будет одинакова по всей длине (при условии, что нить и блок идеальны).

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза:

1. Для груза $m_1$ (ось OY направлена вверх):

$m_1a_2 = T_2 - m_1g$

2. Для груза $m_2$ (ось OY направлена вниз, по направлению движения):

$m_2a_2 = m_2g - T_2$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными ($a_2$ и $T_2$). Чтобы найти $a_2$, сложим эти два уравнения:

$m_1a_2 + m_2a_2 = (T_2 - m_1g) + (m_2g - T_2)$

Сила натяжения $T_2$ сокращается:

$a_2(m_1 + m_2) = m_2g - m_1g$

$a_2(m_1 + m_2) = g(m_2 - m_1)$

Выразим ускорение $a_2$:

$a_2 = g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$a_2 = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \frac{0,4 \text{ кг} - 0,2 \text{ кг}}{0,2 \text{ кг} + 0,4 \text{ кг}} = 10 \cdot \frac{0,2}{0,6} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 10 \cdot \frac{1}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{10}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Нахождение отношения ускорений

Теперь, когда мы нашли оба ускорения, определим их отношение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{\frac{10}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 10 \cdot \frac{3}{10} = 3$

Ответ: Отношение модуля ускорения груза $m_1$ в первом случае к модулю его ускорения во втором случае равно 3.