Номер 595, страница 121 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Высота трапа, $h = 5,0$ м
Длина трапа, $l = 13$ м
Коэффициент трения скольжения, $\mu = 0,40$
Начальная скорость ящика, $v_0 = 0$ м/с

Найти:

Время соскальзывания ящика, $t$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона и формулами кинематики для равноускоренного движения. Сначала найдем ускорение, с которым ящик скользит по трапу.

На ящик, движущийся по наклонной плоскости (трапу), действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$. Направим ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Угол наклона трапа к горизонту обозначим как $\alpha$.

Проекция на ось $Oy$: $N - mg \cos \alpha = 0$. Отсюда сила нормальной реакции равна $N = mg \cos \alpha$.

Проекция на ось $Ox$: $mg \sin \alpha - F_{тр} = ma$, где $a$ — ускорение ящика.

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции через коэффициент трения: $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha$.

Подставим выражение для силы трения в уравнение для оси $Ox$:

$mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma$

Сократив массу $m$, получим выражение для ускорения ящика:

$a = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$

Для вычисления ускорения необходимо найти значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$. Из условия задачи, трап представляет собой гипотенузу $l$ прямоугольного треугольника, а высота $h$ — противолежащий катет.

$\sin \alpha = \frac{h}{l} = \frac{5,0}{13}$

Найдем длину прилежащего катета $b$ (горизонтальная проекция трапа) по теореме Пифагора:

$b = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 5,0^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ м

Теперь найдем косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{b}{l} = \frac{12}{13}$

Подставим найденные значения в формулу для ускорения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$:

$a = 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \left( \frac{5}{13} - 0,40 \cdot \frac{12}{13} \right) = 9,8 \cdot \left( \frac{5 - 4,8}{13} \right) = 9,8 \cdot \frac{0,2}{13} = \frac{1,96}{13} \text{ м/с}^2$

Поскольку ящик начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), его движение является равноускоренным. Путь $l$, пройденный за время $t$, определяется по формуле:

$l = \frac{at^2}{2}$

Выразим из этой формулы искомое время $t$:

$t = \sqrt{\frac{2l}{a}}$

Подставим числовые значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 13}{\frac{1,96}{13}}} = \sqrt{\frac{26 \cdot 13}{1,96}} = \sqrt{\frac{338}{1,96}} \approx \sqrt{172,45} \approx 13,13 \text{ с}$

Округлим полученный результат до двух значащих цифр, так как исходные данные ($h=5,0$ м, $l=13$ м, $\mu=0,40$) имеют такую точность.

Ответ: $13$ с.