Номер 594, страница 121 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Высота наклонной плоскости $h = 6,0$ м

Длина наклонной плоскости $l = 10$ м

Коэффициент трения $\mu = 0,48$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Модуль минимальной начальной скорости $v_0$.

Решение:

Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех сил, действующих на тело. Другой, эквивалентный подход, — это закон сохранения полной механической энергии с учетом работы неконсервативных сил (силы трения). Изменение полной механической энергии системы равно работе силы трения.

$\Delta E = W_{тр}$

$E_{кон} - E_{нач} = W_{тр}$

В начальный момент времени (у основания наклонной плоскости) шайба обладает начальной скоростью $v_0$. Ее кинетическая энергия равна $E_{к.нач} = \frac{mv_0^2}{2}$. Потенциальную энергию на этой высоте примем за ноль, $E_{п.нач} = 0$. Таким образом, начальная полная энергия:

$E_{нач} = \frac{mv_0^2}{2}$

В конечный момент времени, достигнув вершины наклонной плоскости, шайба останавливается (поскольку мы ищем минимальную скорость). Ее конечная скорость равна нулю, $v_{кон} = 0$, и кинетическая энергия $E_{к.кон} = 0$. Потенциальная энергия на высоте $h$ равна $E_{п.кон} = mgh$. Конечная полная энергия:

$E_{кон} = mgh$

Работа силы трения $W_{тр}$ отрицательна, так как сила трения $F_{тр}$ направлена против движения. Путь, пройденный шайбой, равен длине наклонной плоскости $l$.

$W_{тр} = -F_{тр} \cdot l$

Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N$, где $N$ – сила нормальной реакции опоры. На наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ сила нормальной реакции уравновешивает компоненту силы тяжести, перпендикулярную плоскости:

$N = mg \cos(\alpha)$

Следовательно, работа силы трения: $W_{тр} = -\mu mg l \cos(\alpha)$.

Подставим все выражения в уравнение изменения энергии:

$mgh - \frac{mv_0^2}{2} = -\mu mg l \cos(\alpha)$

Масса шайбы $m$ присутствует в каждом члене уравнения и может быть сокращена:

$gh - \frac{v_0^2}{2} = -\mu g l \cos(\alpha)$

Выразим из этого уравнения искомую начальную скорость $v_0$:

$\frac{v_0^2}{2} = gh + \mu g l \cos(\alpha)$

$v_0^2 = 2g(h + \mu l \cos(\alpha))$

$v_0 = \sqrt{2g(h + \mu l \cos(\alpha))}$

Для вычисления нам нужен косинус угла наклона плоскости $\alpha$. Из геометрии наклонной плоскости (прямоугольный треугольник с гипотенузой $l$ и противолежащим катетом $h$) имеем:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{l}$

Подставим числовые значения:

$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{10^2 - (6,0)^2}}{10} = \frac{\sqrt{100 - 36}}{10} = \frac{\sqrt{64}}{10} = \frac{8}{10} = 0,8$

Теперь подставим все известные значения в формулу для $v_0$:

$v_0 = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot (6,0 + 0,48 \cdot 10 \cdot 0,8)}$

$v_0 = \sqrt{19,6 \cdot (6,0 + 3,84)}$

$v_0 = \sqrt{19,6 \cdot 9,84}$

$v_0 = \sqrt{192,864} \approx 13,89$ м/с

Округлим результат до двух значащих цифр, так как данные в условии имеют две значащие цифры.

Ответ: $v_0 \approx 14$ м/с.