Номер 597, страница 121 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина основания наклонной плоскости: $b = 6,0$ м

Высота наклонной плоскости: $h = 6,0$ м

Высота плоскости для предельного угла: $h_0 = 2,4$ м

Длина основания для предельного угла: $b_0 = b = 6,0$ м

Начальная скорость бруска: $v_0 = 0$ м/с

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Время скольжения бруска $t$.

Решение:

1. Сначала определим коэффициент трения скольжения $\mu$. Известно, что предельный угол наклона $\alpha_0$, при котором брусок еще находится в покое, соответствует высоте $h_0$ и длине основания $b_0$. В этом положении сила трения покоя максимальна и уравновешивает проекцию силы тяжести на наклонную плоскость. Условие равновесия на предельном угле: $mg \sin{\alpha_0} = F_{тр.пок.макс}$. Сила нормальной реакции $N = mg \cos{\alpha_0}$, а максимальная сила трения покоя $F_{тр.пок.макс} = \mu N = \mu mg \cos{\alpha_0}$. Приравнивая, получаем: $mg \sin{\alpha_0} = \mu mg \cos{\alpha_0}$, откуда коэффициент трения $\mu = \tan{\alpha_0}$.

Тангенс предельного угла можно найти из геометрии: $\tan{\alpha_0} = \frac{h_0}{b_0} = \frac{2,4 \text{ м}}{6,0 \text{ м}} = 0,4$.

Будем считать, что коэффициент трения скольжения равен коэффициенту трения покоя, то есть $\mu = 0,4$.

2. Теперь рассмотрим движение бруска по основной наклонной плоскости с высотой $h=6,0$ м и основанием $b=6,0$ м. Найдем тангенс угла наклона этой плоскости $\alpha$:

$\tan{\alpha} = \frac{h}{b} = \frac{6,0 \text{ м}}{6,0 \text{ м}} = 1$.

Поскольку $\tan{\alpha} > \tan{\alpha_0}$ ($1 > 0,4$), брусок будет соскальзывать с ускорением.

3. Запишем второй закон Ньютона для бруска, движущегося по наклонной плоскости. Направим ось $Ox$ вдоль плоскости вниз. Сумма сил, действующих на брусок в проекции на эту ось, равна $ma$:

$ma = mg \sin{\alpha} - F_{тр.ск.}$, где $a$ – ускорение бруска.

Сила трения скольжения $F_{тр.ск.} = \mu N = \mu mg \cos{\alpha}$.

Тогда $ma = mg \sin{\alpha} - \mu mg \cos{\alpha}$. Сократив массу $m$, получим формулу для ускорения:

$a = g(\sin{\alpha} - \mu \cos{\alpha})$.

4. Для вычисления $\sin{\alpha}$ и $\cos{\alpha}$ найдем длину наклонной плоскости $L$ по теореме Пифагора:

$L = \sqrt{h^2 + b^2} = \sqrt{(6,0 \text{ м})^2 + (6,0 \text{ м})^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ м.

Тогда $\sin{\alpha} = \frac{h}{L} = \frac{6,0}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\cos{\alpha} = \frac{b}{L} = \frac{6,0}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Подставим найденные значения в формулу для ускорения:

$a = g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 0,4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = g \frac{1-0,4}{\sqrt{2}} = \frac{0,6 g}{\sqrt{2}}$.

5. Брусок движется равноускоренно из состояния покоя ($v_0 = 0$). Время движения $t$ можно найти из формулы для пути $L = v_0 t + \frac{at^2}{2}$. Так как $v_0=0$, то $L = \frac{at^2}{2}$.

Выразим отсюда время: $t = \sqrt{\frac{2L}{a}}$.

Подставим выражения для $L$ и $a$:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 6\sqrt{2}}{\frac{0,6 g}{\sqrt{2}}}} = \sqrt{\frac{12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{0,6 g}} = \sqrt{\frac{12 \cdot 2}{0,6 g}} = \sqrt{\frac{24}{0,6 g}} = \sqrt{\frac{40}{g}}$.

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²:

$t = \sqrt{\frac{40}{10 \text{ м/с²}}} = \sqrt{4 \text{ с²}} = 2$ с.

Ответ: 2 с.