Номер 600, страница 121 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$l = 5,0$ м

$h = 3,0$ м

$m = 50$ кг

$\mu = 0,20$

$a_б = 1,0$ м/с²

Примем ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Найти:

$F_а$ - силу для движения с постоянной скоростью ($a_а = 0$ м/с²)

$F_б$ - силу для движения с ускорением

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона. Выберем систему координат, в которой ось Ox направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось Oy — перпендикулярно ей.

На груз действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно плоскости; сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная против движения (вниз вдоль плоскости); и приложенная сила $\vec{F}$, направленная вдоль плоскости вверх.

Сначала определим синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике, образованном наклонной плоскостью, ее высотой и основанием:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{l} = \frac{3,0 \text{ м}}{5,0 \text{ м}} = 0,6$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, найдем косинус:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$.

Запишем второй закон Ньютона ($\sum \vec{F} = m\vec{a}$) в проекциях на выбранные оси.

Проекция на ось Oy: $N - mg\cos(\alpha) = 0$, так как в направлении, перпендикулярном плоскости, груз не движется. Отсюда выражаем силу нормальной реакции опоры:

$N = mg\cos(\alpha)$.

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры соотношением:

$F_{тр} = \mu N = \mu mg\cos(\alpha)$.

Проекция на ось Ox: $F - F_{тр} - mg\sin(\alpha) = ma$. Здесь $a$ — это ускорение груза, направленное вдоль оси Ox.

Выразим искомую силу $F$, подставив выражение для силы трения:

$F = mg\sin(\alpha) + F_{тр} + ma = mg\sin(\alpha) + \mu mg\cos(\alpha) + ma$.

Сгруппируем слагаемые: $F = mg(\sin(\alpha) + \mu\cos(\alpha)) + ma$. Эта формула является общей для решения обоих пунктов задачи.

а) тянуть его по наклонной плоскости с постоянной скоростью;

Если груз тянут с постоянной скоростью, его ускорение равно нулю ($a = 0$). Подставим это значение в общую формулу:

$F_а = mg(\sin(\alpha) + \mu\cos(\alpha))$.

Подставим числовые значения:

$F_а = 50 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (0,6 + 0,20 \cdot 0,8) = 500 \text{ Н} \cdot (0,6 + 0,16) = 500 \text{ Н} \cdot 0,76 = 380$ Н.

Ответ: $380$ Н.

б) тянуть его с ускорением, модуль которого $a = 1,0 \frac{м}{с^2}$;

В этом случае ускорение $a = 1,0$ м/с². Используем общую формулу для силы:

$F_б = mg(\sin(\alpha) + \mu\cos(\alpha)) + ma$.

Первое слагаемое $mg(\sin(\alpha) + \mu\cos(\alpha))$ равно силе $F_а$, вычисленной в предыдущем пункте. Поэтому можно записать:

$F_б = F_а + ma$.

Подставим числовые значения:

$F_б = 380 \text{ Н} + 50 \text{ кг} \cdot 1,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 380 \text{ Н} + 50 \text{ Н} = 430$ Н.

Ответ: $430$ Н.