Номер 599, страница 121 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$\alpha_1 = 45^\circ$

$t_1 = 5,0 \text{ с}$

$\alpha_2 = 60^\circ$

$t_2 = 4,0 \text{ с}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

Найти:

$\mu$ — коэффициент трения скольжения

Решение:

Рассмотрим движение шайбы по наклонной доске. На шайбу действуют три силы: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $N$ и сила трения скольжения $F_{тр}$. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Направим ось Ox вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Oy перпендикулярно ей вверх.

Проекция на ось Oy:

$N - mg \cos \alpha = 0 \implies N = mg \cos \alpha$

Проекция на ось Ox:

$mg \sin \alpha - F_{тр} = ma$

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N$. Подставим выражение для силы нормальной реакции:

$F_{тр} = \mu mg \cos \alpha$

Теперь подставим силу трения в уравнение для оси Ox:

$mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma$

Масса шайбы $m$ сокращается, и мы получаем выражение для ускорения $a$:

$a = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$

Шайба соскальзывает из состояния покоя ($v_0 = 0$), поэтому путь $L$, который она проходит за время $t$, равен:

$L = \frac{at^2}{2}$

Подставим в эту формулу выражение для ускорения:

$L = \frac{g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)t^2}{2}$

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в задаче. Длина доски $L$ в обоих случаях одинакова.

Для первого случая ($\alpha_1 = 45^\circ$, $t_1 = 5,0 \text{ с}$):

$L = \frac{g(\sin \alpha_1 - \mu \cos \alpha_1)t_1^2}{2}$

Для второго случая ($\alpha_2 = 60^\circ$, $t_2 = 4,0 \text{ с}$):

$L = \frac{g(\sin \alpha_2 - \mu \cos \alpha_2)t_2^2}{2}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части (длина $L$) равны:

$\frac{g(\sin \alpha_1 - \mu \cos \alpha_1)t_1^2}{2} = \frac{g(\sin \alpha_2 - \mu \cos \alpha_2)t_2^2}{2}$

Сократим $g/2$:

$(\sin \alpha_1 - \mu \cos \alpha_1)t_1^2 = (\sin \alpha_2 - \mu \cos \alpha_2)t_2^2$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие неизвестный коэффициент трения $\mu$:

$t_1^2 \sin \alpha_1 - \mu t_1^2 \cos \alpha_1 = t_2^2 \sin \alpha_2 - \mu t_2^2 \cos \alpha_2$

$\mu t_2^2 \cos \alpha_2 - \mu t_1^2 \cos \alpha_1 = t_2^2 \sin \alpha_2 - t_1^2 \sin \alpha_1$

$\mu (t_1^2 \cos \alpha_1 - t_2^2 \cos \alpha_2) = t_1^2 \sin \alpha_1 - t_2^2 \sin \alpha_2$

Выразим коэффициент трения $\mu$:

$\mu = \frac{t_1^2 \sin \alpha_1 - t_2^2 \sin \alpha_2}{t_1^2 \cos \alpha_1 - t_2^2 \cos \alpha_2}$

Подставим числовые значения:

$\mu = \frac{(5,0)^2 \cdot \sin 45^\circ - (4,0)^2 \cdot \sin 60^\circ}{(5,0)^2 \cdot \cos 45^\circ - (4,0)^2 \cdot \cos 60^\circ} = \frac{25 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{25 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 16 \cdot 0,5}$

$\mu \approx \frac{25 \cdot 0,707 - 16 \cdot 0,866}{25 \cdot 0,707 - 16 \cdot 0,5} = \frac{17,675 - 13,856}{17,675 - 8} = \frac{3,819}{9,675} \approx 0,3947$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$\mu \approx 0,39$

Ответ: коэффициент трения скольжения шайбы по доске равен 0,39.