Номер 605, страница 122 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$h = 3$ м

$l = 5$ м

$F = 2mg$

$\mu = 0,2$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$a$ - ?

Решение:

Для решения задачи выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вверх вдоль наклонной плоскости, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей. Угол наклона плоскости к горизонту обозначим как $\alpha$.

Из геометрических соображений найдем синус и косинус угла наклона:

$\sin\alpha = \frac{h}{l} = \frac{3}{5} = 0,6$

По основному тригонометрическому тождеству найдем косинус:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (0,6)^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$

На брусок действуют четыре силы: горизонтальная сила $\vec{F}$, сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{\text{тр}}$.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec{a} = \vec{F} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{\text{тр}}$

Спроецируем это уравнение на выбранные оси координат.

Проекция на ось $Oy$:

Сила $\vec{F}$ — горизонтальная, угол между ней и осью $Oy$ равен $(90^\circ - \alpha)$. Её проекция на ось $Oy$ направлена в отрицательную сторону: $-F \cos(90^\circ - \alpha) = -F \sin\alpha$.

Проекция силы тяжести $m\vec{g}$ на ось $Oy$: $-mg \cos\alpha$.

Сумма проекций на ось $Oy$ равна нулю, так как движение перпендикулярно плоскости отсутствует:

$N - mg \cos\alpha - F \sin\alpha = 0$

Отсюда выразим силу нормальной реакции опоры $N$:

$N = mg \cos\alpha + F \sin\alpha$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры соотношением $F_{\text{тр}} = \mu N$. Она направлена против движения, то есть в отрицательном направлении оси $Ox$.

$F_{\text{тр}} = \mu (mg \cos\alpha + F \sin\alpha)$

Проекция на ось $Ox$:

Проекция силы $\vec{F}$ на ось $Ox$: $F \cos\alpha$.

Проекция силы тяжести $m\vec{g}$ на ось $Ox$: $-mg \sin\alpha$.

Второй закон Ньютона в проекции на ось $Ox$:

$ma = F \cos\alpha - mg \sin\alpha - F_{\text{тр}}$

Подставим выражение для силы трения:

$ma = F \cos\alpha - mg \sin\alpha - \mu (mg \cos\alpha + F \sin\alpha)$

Теперь используем условие из задачи $F = 2mg$:

$ma = (2mg) \cos\alpha - mg \sin\alpha - \mu (mg \cos\alpha + (2mg) \sin\alpha)$

Сократим массу $m$ в обеих частях уравнения:

$a = 2g \cos\alpha - g \sin\alpha - \mu (g \cos\alpha + 2g \sin\alpha)$

Вынесем $g$ за скобки:

$a = g (2 \cos\alpha - \sin\alpha - \mu (\cos\alpha + 2 \sin\alpha))$

Подставим числовые значения:

$a = 10 \cdot (2 \cdot 0,8 - 0,6 - 0,2 \cdot (0,8 + 2 \cdot 0,6))$

$a = 10 \cdot (1,6 - 0,6 - 0,2 \cdot (0,8 + 1,2))$

$a = 10 \cdot (1 - 0,2 \cdot 2)$

$a = 10 \cdot (1 - 0,4)$

$a = 10 \cdot 0,6 = 6 \text{ м/с}^2$

Ответ: модуль ускорения бруска равен $6 \text{ м/с}^2$.