Номер 592, страница 120 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:
Угол наклона плоскости: $ \alpha = 45^\circ $
Коэффициент трения скольжения: $ \mu = 0,8 $

Найти:
а) $ \frac{a_{вверх}}{a_{вниз}} $ — отношение модулей ускорения
б) $ \frac{t_{подъема}}{t_{спуска}} $ — отношение времени подъема и спуска

Решение:

а) Отношение модулей ускорения бруска при движении его вверх и вниз по наклонной плоскости
Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона. Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей.

1. Движение бруска вверх.
На брусок действуют: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно плоскости, и сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная против движения, то есть вниз вдоль наклонной плоскости.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:
Проекция на ось $Oy$: $ \sum F_y = N - mg \cos \alpha = 0 \implies N = mg \cos \alpha $
Проекция на ось $Ox$: $ \sum F_x = -mg \sin \alpha - F_{тр} = -m a_{вверх} $
Сила трения скольжения равна $ F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha $.
Подставляем силу трения в уравнение для оси $Ox$ и выражаем модуль ускорения $a_{вверх}$:
$ m a_{вверх} = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha $
$ a_{вверх} = g(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) $

2. Движение бруска вниз.
При движении вниз сила трения $F_{тр}$ меняет свое направление и теперь направлена вверх вдоль наклонной плоскости, противодействуя скатыванию.
Второй закон Ньютона в проекциях:
Проекция на ось $Oy$: $ \sum F_y = N - mg \cos \alpha = 0 \implies N = mg \cos \alpha $
Проекция на ось $Ox$: $ \sum F_x = -mg \sin \alpha + F_{тр} = -m a_{вниз} $
Выражаем модуль ускорения $a_{вниз}$:
$ m a_{вниз} = mg \sin \alpha - F_{тр} = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha $
$ a_{вниз} = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha) $

3. Находим отношение модулей ускорений.
$ \frac{a_{вверх}}{a_{вниз}} = \frac{g(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha + \mu \cos \alpha}{\sin \alpha - \mu \cos \alpha} $
Для упрощения можно разделить числитель и знаменатель на $ \cos \alpha $:
$ \frac{a_{вверх}}{a_{вниз}} = \frac{\tan \alpha + \mu}{\tan \alpha - \mu} $
Подставляем данные из условия: $ \alpha = 45^\circ $ (следовательно, $ \tan 45^\circ = 1 $) и $ \mu = 0,8 $:
$ \frac{a_{вверх}}{a_{вниз}} = \frac{1 + 0,8}{1 - 0,8} = \frac{1,8}{0,2} = 9 $

Ответ: 9.

б) Отношение времени подъема и спуска бруска по наклонной плоскости
Брусок проходит одинаковое расстояние $S$ при движении вверх и вниз.

1. Время подъема $t_{подъема}$.
Движение вверх является равнозамедленным. Брусок начинает движение с начальной скоростью $v_0$ и останавливается в верхней точке. Путь $S$ и время $t_{подъема}$ связаны соотношениями: $ S = v_0 t_{подъема} - \frac{1}{2} a_{вверх} t_{подъема}^2 $ и $ v_0 = a_{вверх} t_{подъема} $. Подставив второе в первое, получим: $ S = (a_{вверх} t_{подъема}) t_{подъема} - \frac{1}{2} a_{вверх} t_{подъема}^2 = \frac{1}{2} a_{вверх} t_{подъема}^2 $.
Отсюда $ t_{подъема}^2 = \frac{2S}{a_{вверх}} $.

2. Время спуска $t_{спуска}$.
Движение вниз является равноускоренным из состояния покоя. Путь $S$ выражается формулой: $ S = \frac{a_{вниз} t_{спуска}^2}{2} $.
Отсюда $ t_{спуска}^2 = \frac{2S}{a_{вниз}} $.

3. Находим отношение времени.
Приравняем выражения для пути $S$ или просто разделим выражения для квадратов времени:
$ \frac{t_{подъема}^2}{t_{спуска}^2} = \frac{2S/a_{вверх}}{2S/a_{вниз}} = \frac{a_{вниз}}{a_{вверх}} $
Теперь найдем отношение самого времени, извлекая квадратный корень:
$ \frac{t_{подъема}}{t_{спуска}} = \sqrt{\frac{a_{вниз}}{a_{вверх}}} $
Используя результат из пункта а), где $ \frac{a_{вверх}}{a_{вниз}} = 9 $, получаем:
$ \frac{t_{подъема}}{t_{спуска}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} $

Ответ: 1/3.