Номер 656, страница 133 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина планки $l = 1,5$ м
Масса планки $m = 2,0$ кг
Расстояние от верхнего конца планки до точки касания $l_1 = 50$ см
Высота стола $h = 80$ см
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг

$l_1 = 50 \text{ см} = 0,5 \text{ м}$
$h = 80 \text{ см} = 0,8 \text{ м}$

Найти:

Модуль силы давления планки на стол $F_{давл}$

Решение:

Планка находится в состоянии статического равновесия. Согласно условию равновесия, сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно любой оси вращения равна нулю. Выберем ось вращения, проходящую через нижний конец планки (точку ее опоры на пол), перпендикулярно плоскости рисунка.

На планку действуют следующие силы:
1. Сила тяжести $mg$, приложенная к центру масс планки. Поскольку планка однородная, ее центр масс расположен на расстоянии $l/2$ от любого из ее концов.
2. Сила нормальной реакции $N$ со стороны гладкого края стола. Эта сила направлена перпендикулярно планке.
3. Сила реакции со стороны пола. Момент этой силы относительно выбранной оси вращения равен нулю, так как плечо силы равно нулю.

Запишем уравнение моментов. Момент силы $N$ стремится повернуть планку против часовой стрелки, а момент силы тяжести $mg$ — по часовой стрелке.
$M_N = M_{mg}$

Момент силы определяется как произведение модуля силы на ее плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).
Обозначим угол наклона планки к горизонтали как $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный частью планки от пола до края стола, высотой стола и горизонтальной поверхностью. Длина гипотенузы этого треугольника (часть планки) равна $l - l_1$. Высота стола $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$.
Длина части планки, опирающейся на стол: $l_{опоры} = l - l_1 = 1,5 \text{ м} - 0,5 \text{ м} = 1,0 \text{ м}$.
Из этого треугольника находим синус угла $\alpha$:
$\sin \alpha = \frac{h}{l - l_1} = \frac{0,8 \text{ м}}{1,0 \text{ м}} = 0,8$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, найдем косинус угла $\alpha$:
$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$.

Теперь найдем плечи сил относительно точки опоры на полу.
Плечо силы $N$ равно расстоянию от точки опоры до края стола, то есть $l - l_1$. Момент этой силы:
$M_N = N \cdot (l - l_1)$.
Плечо силы тяжести $mg$ равно горизонтальной проекции расстояния от точки опоры до центра масс планки. Это расстояние равно $(l/2) \cdot \cos \alpha$. Момент этой силы:
$M_{mg} = mg \cdot \frac{l}{2} \cdot \cos \alpha$.

Приравниваем моменты:
$N \cdot (l - l_1) = mg \cdot \frac{l}{2} \cdot \cos \alpha$.
Выражаем силу реакции $N$:
$N = \frac{mg \cdot \frac{l}{2} \cdot \cos \alpha}{l - l_1}$.

Согласно третьему закону Ньютона, сила давления планки на стол $F_{давл}$ по модулю равна силе реакции опоры $N$, с которой стол действует на планку: $F_{давл} = N$.
Подставим числовые значения в формулу:
$F_{давл} = \frac{2,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot \frac{1,5 \text{ м}}{2} \cdot 0,6}{1,0 \text{ м}} = \frac{20 \cdot 0,75 \cdot 0,6}{1} = 15 \cdot 0,6 = 9,0 \text{ Н}$.

Ответ: $9,0$ Н.