Номер 650, страница 132 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_1 = 4,0$ кг

$m_2 = 2,0$ кг

$AB = AC$

Найти:

$α$

Решение:

Рассмотрим условие равновесия стержня $AB$ относительно точки крепления (шарнира) $A$. Для того чтобы стержень находился в равновесии, сумма моментов всех сил, действующих на него относительно точки $A$, должна быть равна нулю. На стержень действуют три силы: сила тяжести стержня $F_{g1}$, сила натяжения нити $T$ и сила реакции опоры в шарнире $A$. Момент силы реакции опоры относительно точки $A$ равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю.

Запишем уравнение моментов относительно точки $A$:

$M_1 + M_T = 0$

где $M_1$ — момент силы тяжести стержня, $M_T$ — момент силы натяжения нити. Моменты, вращающие стержень в разных направлениях, имеют разные знаки. Приравняем их модули.

$|M_1| = |M_T|$

1. Момент силы тяжести $M_1$. Сила тяжести $F_{g1} = m_1g$ приложена к центру масс однородного стержня, то есть к его середине. Пусть длина стержня $AB = L$. Тогда сила приложена на расстоянии $L/2$ от точки $A$. Угол между стержнем и вертикалью равен $α$. Плечо силы тяжести $d_1$ равно $d_1 = \frac{L}{2} \sinα$.

Момент силы тяжести (вращает по часовой стрелке):

$M_1 = F_{g1} \cdot d_1 = m_1g \frac{L}{2} \sinα$

2. Момент силы натяжения нити $M_T$. Сила натяжения нити $T$ приложена к концу стержня в точке $B$. Поскольку груз массой $m_2$ находится в равновесии, сила натяжения нити равна его весу: $T = m_2g$.

Момент этой силы можно вычислить по формуле $M_T = r \cdot F \cdot \sin\beta$, где $r = AB = L$ — расстояние от оси вращения до точки приложения силы, $F=T$, а $\beta$ — угол между вектором $\vec{AB}$ и вектором силы $\vec{T}$, который направлен вдоль нити $BC$. Таким образом, $\beta = \angle ABC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию $AB = AC$, значит, он равнобедренный. Угол при вершине $A$ равен $\angle BAC = α$. Углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$α + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$α + 2\angle ABC = 180^\circ$

$\angle ABC = \frac{180^\circ - α}{2} = 90^\circ - \frac{α}{2}$

Теперь можем найти момент силы натяжения (вращает против часовой стрелки):

$M_T = L \cdot T \cdot \sin(\angle ABC) = L \cdot (m_2g) \cdot \sin(90^\circ - \frac{α}{2})$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(90^\circ - x) = \cos x$, получаем:

$M_T = L m_2 g \cos(\frac{α}{2})$

3. Условие равновесия. Приравниваем моменты:

$M_1 = M_T$

$m_1g \frac{L}{2} \sinα = L m_2 g \cos(\frac{α}{2})$

Сокращаем $g$ и $L$:

$\frac{m_1}{2} \sinα = m_2 \cos(\frac{α}{2})$

Используем формулу синуса двойного угла $\sinα = 2\sin(\frac{α}{2})\cos(\frac{α}{2})$:

$\frac{m_1}{2} \cdot 2\sin(\frac{α}{2})\cos(\frac{α}{2}) = m_2 \cos(\frac{α}{2})$

$m_1\sin(\frac{α}{2})\cos(\frac{α}{2}) = m_2 \cos(\frac{α}{2})$

Поскольку из рисунка видно, что $α < 180^\circ$, то $α/2 < 90^\circ$ и $\cos(\frac{α}{2}) \neq 0$. Можем сократить обе части уравнения на $\cos(\frac{α}{2})$:

$m_1\sin(\frac{α}{2}) = m_2$

Выражаем $\sin(\frac{α}{2})$:

$\sin(\frac{α}{2}) = \frac{m_2}{m_1}$

Подставляем числовые значения:

$\sin(\frac{α}{2}) = \frac{2,0}{4,0} = 0,5$

Отсюда находим угол:

$\frac{α}{2} = \arcsin(0,5) = 30^\circ$

$α = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Ответ: угол наклона стержня к вертикали равен $60^\circ$.