Номер 645, страница 131 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус цилиндра: $R = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$
Масса цилиндра: $m = 10 \text{ кг}$
Высота ступеньки: $h = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

а) $F_a$ - модуль минимальной горизонтальной силы, приложенной к оси;
б) $F_б$ - модуль минимальной силы, приложенной к оси;
в) $F_в$ - модуль минимальной силы, приложенной к поверхности.

Решение:

Для того чтобы поднять цилиндр на ступеньку, необходимо создать вращающий момент, который преодолеет момент силы тяжести. Цилиндр начнет поворачиваться вокруг края ступеньки (точка O), когда момент приложенной силы $M_F$ относительно этой точки станет как минимум равен моменту силы тяжести $M_g$.

Условие равновесия в предельном случае:$M_F = M_g$

Сила тяжести $P = mg$ приложена к центру масс цилиндра (его геометрической оси). Вычислим её величину:$P = mg = 10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 100 \text{ Н}$

Плечо силы тяжести $d_g$ — это горизонтальное расстояние от центра цилиндра до точки опоры O. Его можно найти из прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является радиус $R$, а одним из катетов — вертикальное расстояние от центра цилиндра до уровня ступеньки $(R-h)$:$d_g = \sqrt{R^2 - (R-h)^2} = \sqrt{2Rh - h^2}$

Подставим числовые значения:$d_g = \sqrt{2 \cdot 0.5 \text{ м} \cdot 0.1 \text{ м} - (0.1 \text{ м})^2} = \sqrt{0.1 - 0.01} = \sqrt{0.09} = 0.3 \text{ м}$

Таким образом, момент силы тяжести, препятствующий подъему, равен:$M_g = P \cdot d_g = 100 \text{ Н} \cdot 0.3 \text{ м} = 30 \text{ Н} \cdot \text{м}$

а) модуль минимальной горизонтальной силы, которую надо приложить к оси цилиндра, чтобы поднять его на ступеньку;

Горизонтальная сила $F_a$ приложена к оси цилиндра. Её плечо $d_a$ относительно точки опоры O равно вертикальному расстоянию от оси до точки O:$d_a = R - h = 0.5 \text{ м} - 0.1 \text{ м} = 0.4 \text{ м}$

Момент этой силы: $M_a = F_a \cdot d_a$. Из условия равновесия $F_a \cdot d_a = M_g$:$F_a = \frac{M_g}{d_a} = \frac{30 \text{ Н} \cdot \text{м}}{0.4 \text{ м}} = 75 \text{ Н}$

Ответ: $75 \text{ Н}$.

б) модуль минимальной силы, которую надо приложить к оси цилиндра, чтобы поднять его на ступеньку;

Сила, приложенная к оси, будет минимальной, когда ее плечо относительно точки опоры O будет максимальным. Максимальное плечо для силы, приложенной к центру цилиндра (точка C), равно расстоянию от центра до точки опоры O. Это расстояние $CO$ равно радиусу цилиндра $R$:$d_{б,max} = CO = R = 0.5 \text{ м}$Такое плечо достигается, когда вектор силы перпендикулярен отрезку CO.

Из условия равновесия $F_б \cdot d_{б,max} = M_g$:$F_б = \frac{M_g}{d_{б,max}} = \frac{30 \text{ Н} \cdot \text{м}}{0.5 \text{ м}} = 60 \text{ Н}$

Ответ: $60 \text{ Н}$.

в) модуль минимальной силы, которую надо приложить к поверхности цилиндра, чтобы поднять его на ступеньку.

Сила, приложенная к поверхности, будет минимальной, когда ее плечо $d_в$ относительно точки опоры O будет максимальным. Плечо силы максимально, когда точка приложения силы находится на наибольшем расстоянии от точки опоры O, и сила перпендикулярна линии, соединяющей эти точки.

Точка опоры O находится на расстоянии $R$ от центра цилиндра C. Наиболее удаленная точка P на поверхности цилиндра от точки O — это точка, диаметрально противоположная O. Расстояние $OP$ в этом случае равно диаметру цилиндра $2R$. Это и есть максимальное возможное плечо.$d_{в,max} = 2R = 2 \cdot 0.5 \text{ м} = 1 \text{ м}$

Из условия равновесия $F_в \cdot d_{в,max} = M_g$:$F_в = \frac{M_g}{d_{в,max}} = \frac{30 \text{ Н} \cdot \text{м}}{1 \text{ м}} = 30 \text{ Н}$

Ответ: $30 \text{ Н}$.