Номер 644, страница 131 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Глубина лунки $h$ в 2 раза меньше радиуса шара $R$.

$h = \frac{R}{2}$

Силой трения пренебречь.

Найти:

Минимальный угол наклона доски $\alpha_{min}$

Решение:

Шарик выскочит из лунки в тот момент, когда он начнет опрокидываться через ее край. Назовем точку края лунки, через которую шарик будет перекатываться, точкой опоры $P$.

Рассмотрим поперечное сечение шара и лунки. Пусть $O$ — центр шара, $R$ — его радиус. Глубина лунки $h = R/2$.

В момент, когда шарик готов выскочить, он опирается только на край лунки $P$. Сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к центру шара $O$, создает вращающий момент относительно точки $P$. Шарик выскочит, если линия действия силы тяжести пройдет через точку опоры $P$ или за ней (в сторону скатывания). Минимальный угол наклона $\alpha$ соответствует случаю, когда линия действия силы тяжести (вертикальная линия, проходящая через центр шара $O$) проходит точно через точку опоры $P$.

Рассмотрим геометрию системы в этот критический момент. Проведем перпендикуляр из центра шара $O$ к плоскости доски. Пусть точка пересечения этого перпендикуляра с доской будет $M$.

Расстояние $OM$ равно разности радиуса шара и глубины той части лунки, в которой находится центр шара. Это расстояние равно $R - h$.

$OM = R - h = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$

Теперь найдем расстояние $PM$ — это половина ширины лунки на уровне поверхности доски. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMP$. Гипотенуза $OP$ равна радиусу шара $R$, а катет $OM$ равен $R/2$. По теореме Пифагора найдем второй катет $PM$:

$OP^2 = OM^2 + PM^2$

$R^2 = (\frac{R}{2})^2 + PM^2$

$R^2 = \frac{R^2}{4} + PM^2$

$PM^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

$PM = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$

В критический момент опрокидывания, как было сказано, линия $OP$ должна быть вертикальна. Линия $OM$ перпендикулярна доске, а доска наклонена к горизонту под углом $\alpha$. Следовательно, угол между перпендикуляром к доске (линией $OM$) и вертикалью (линией $OP$) равен углу наклона доски $\alpha$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle OMP$ угол $\angle POM$ равен искомому углу $\alpha$. Мы можем найти тангенс этого угла:

$\text{tg}(\alpha) = \text{tg}(\angle POM) = \frac{PM}{OM}$

Подставим найденные значения $PM$ и $OM$:

$\text{tg}(\alpha) = \frac{\frac{R\sqrt{3}}{2}}{\frac{R}{2}} = \sqrt{3}$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$.

$\alpha = \text{arctg}(\sqrt{3}) = 60^\circ$

Ответ: минимальный угол наклона доски, при котором шарик выскочит из лунки, равен $60^\circ$.