Номер 647, страница 132 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_0 = 300$ г

соотношение длин $l_1 : l_2 = 1 : 2$

угол сгиба $ = 90^\circ$

$m_0 = 0.3$ кг

Найти:

$m$ — масса груза

Решение:

Пусть общая длина однородного стержня равна $L$. Стержень согнут в точке, делящей его в отношении 1:2. Это означает, что длины частей стержня $l_1$ (короткая) и $l_2$ (длинная) равны:

$l_1 = \frac{1}{1+2}L = \frac{1}{3}L$

$l_2 = \frac{2}{1+2}L = \frac{2}{3}L$

Следовательно, $l_2 = 2l_1$.

Так как стержень однородный, его масса распределена пропорционально длине. Массы короткой ($m_1$) и длинной ($m_2$) частей равны:

$m_1 = \frac{l_1}{L}m_0 = \frac{L/3}{L}m_0 = \frac{1}{3}m_0$

$m_2 = \frac{l_2}{L}m_0 = \frac{2L/3}{L}m_0 = \frac{2}{3}m_0$

Центры масс каждой части находятся в их серединах, то есть на расстояниях $l_1/2$ и $l_2/2$ от точки сгиба.

Стержень подвешен за точку сгиба. Условие, что концы стержня находятся на одной горизонтали, позволяет определить угол наклона стержня. Пусть короткая часть стержня образует с горизонталью угол $\alpha$. Поскольку угол сгиба прямой ($90^\circ$), длинная часть будет образовывать с горизонталью угол $(90^\circ - \alpha)$ в смежном квадранте.

Вертикальные смещения концов стержня относительно точки подвеса должны быть равны. Пусть точка подвеса находится в начале координат (0,0). Тогда вертикальные координаты концов равны:

$y_1 = -l_1 \sin\alpha$ (для короткого конца)

$y_2 = -l_2 \cos\alpha$ (для длинного конца)

По условию $y_1 = y_2$, следовательно:

$l_1 \sin\alpha = l_2 \cos\alpha$

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{l_2}{l_1} = \frac{2l_1}{l_1} = 2$

Для равновесия стержня необходимо, чтобы сумма моментов сил относительно точки подвеса была равна нулю. Силы, создающие моменты, — это силы тяжести частей стержня и подвешенного груза. Момент силы равен произведению силы на плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы). В данном случае плечи — это горизонтальные проекции расстояний от точки подвеса до точек приложения сил.

Моменты сил, вращающие стержень против часовой стрелки (со стороны короткой части с грузом):

1. Момент от силы тяжести короткой части стержня: $M_1 = (m_1 g) \cdot (\frac{l_1}{2} \cos\alpha)$.

2. Момент от силы тяжести подвешенного груза: $M_m = (m g) \cdot (l_1 \cos\alpha)$.

Момент силы, вращающий стержень по часовой стрелке (со стороны длинной части):

3. Момент от силы тяжести длинной части стержня: $M_2 = (m_2 g) \cdot (\frac{l_2}{2} \sin\alpha)$.

Условие равновесия моментов: сумма моментов, вращающих против часовой стрелки, равна сумме моментов, вращающих по часовой стрелке.

$M_1 + M_m = M_2$

$(m_1 g) \frac{l_1}{2} \cos\alpha + (m g) l_1 \cos\alpha = (m_2 g) \frac{l_2}{2} \sin\alpha$

Сократим на $g$ и подставим выражения для масс $m_1 = m_0/3$ и $m_2 = 2m_0/3$:

$(\frac{m_0}{3}) \frac{l_1}{2} \cos\alpha + m l_1 \cos\alpha = (\frac{2m_0}{3}) \frac{l_2}{2} \sin\alpha$

$\frac{m_0 l_1}{6} \cos\alpha + m l_1 \cos\alpha = \frac{m_0 l_2}{3} \sin\alpha$

Разделим все уравнение на $l_1 \cos\alpha$ (это возможно, так как $l_1 \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$):

$\frac{m_0}{6} + m = \frac{m_0}{3} \frac{l_2}{l_1} \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{m_0}{3} \frac{l_2}{l_1} \tan\alpha$

Подставим известные соотношения $\frac{l_2}{l_1} = 2$ и $\tan\alpha = 2$:

$\frac{m_0}{6} + m = \frac{m_0}{3} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{4m_0}{3}$

Выразим массу груза $m$:

$m = \frac{4m_0}{3} - \frac{m_0}{6} = \frac{8m_0 - m_0}{6} = \frac{7m_0}{6}$

Теперь подставим числовое значение массы стержня $m_0 = 300$ г:

$m = \frac{7 \cdot 300 \text{ г}}{6} = 7 \cdot 50 \text{ г} = 350 \text{ г}$

Ответ:

Масса груза, который надо подвесить, равна 350 г.