Номер 654, страница 133 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Внутренний радиус стакана: $R = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Длина палочки: $l = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

Масса палочки: $m = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

Стакан гладкий, трение отсутствует.

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Модуль силы, с которой верхний конец палочки действует на стенку стакана: $F$

Решение:

Палочка находится в равновесии внутри цилиндрического стакана. Она опирается нижним концом на край дна стакана (точка А), а верхним концом (точка В) — на противоположную стенку стакана. Рассмотрим сечение стакана и палочки вертикальной плоскостью, проходящей через центр стакана. В этом сечении палочка, стенки и дно образуют геометрическую конструкцию.

На палочку действуют три силы:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к центру масс палочки (ее середине) и направленная вертикально вниз.
2. Сила реакции опоры $\vec{N_A}$ со стороны края дна стакана в точке А. Так как край гладкий, эта сила раскладывается на две компоненты: вертикальную $\vec{N_v}$ (от дна) и горизонтальную $\vec{N_{h1}}$ (от стенки).
3. Сила реакции опоры $\vec{N_B}$ со стороны стенки стакана в точке В. Так как стенка гладкая, эта сила направлена перпендикулярно стенке, то есть горизонтально к центру стакана.

По третьему закону Ньютона, сила $F$, с которой палочка действует на стенку, равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры $\vec{N_B}$. Таким образом, $F = N_B$. Наша задача — найти $N_B$.

Для решения задачи используем условие равновесия твердого тела: сумма моментов всех сил относительно любой оси должна быть равна нулю. Выберем в качестве оси точку А (нижний конец палочки). Это удобно, так как момент силы реакции опоры $\vec{N_A}$ (а также ее компонент $\vec{N_v}$ и $\vec{N_{h1}}$) относительно этой точки равен нулю.

Уравнение моментов относительно точки А:

$M(m\vec{g}) + M(\vec{N_B}) = 0$

Пусть палочка наклонена под углом $\alpha$ к горизонтали. Геометрически палочка является гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого горизонтальный катет равен диаметру стакана $D = 2R$, а вертикальный катет — высоте $h$, на которую поднят верхний конец палочки относительно нижнего. Из теоремы Пифагора:

$l^2 = (2R)^2 + h^2$

Найдем тригонометрические функции угла $\alpha$:

$\cos\alpha = \frac{2R}{l}$

$\sin\alpha = \frac{h}{l} = \frac{\sqrt{l^2 - (2R)^2}}{l}$

Теперь распишем моменты сил:

1. Момент силы тяжести $m\vec{g}$. Сила приложена к середине палочки (на расстоянии $l/2$ от точки А). Плечо этой силы равно горизонтальной проекции половины длины палочки: $d_1 = \frac{l}{2}\cos\alpha$. Момент вращает палочку по часовой стрелке (примем это направление за отрицательное):

$M(m\vec{g}) = -mg \cdot d_1 = -mg \frac{l}{2}\cos\alpha$

2. Момент силы реакции опоры $\vec{N_B}$. Сила приложена к верхнему концу палочки (на расстоянии $l$ от точки А). Плечо этой силы равно вертикальной проекции длины палочки: $d_2 = h = l\sin\alpha$. Момент вращает палочку против часовой стрелки (положительное направление):

$M(\vec{N_B}) = N_B \cdot d_2 = N_B \cdot l\sin\alpha$

Подставим моменты в уравнение равновесия:

$N_B \cdot l\sin\alpha - mg \frac{l}{2}\cos\alpha = 0$

$N_B \cdot l\sin\alpha = mg \frac{l}{2}\cos\alpha$

Выразим $N_B$:

$N_B = \frac{mg}{2} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{mg}{2} \cot\alpha$

Подставим выражения для $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$:

$N_B = \frac{mg}{2} \frac{2R/l}{\sqrt{l^2 - (2R)^2}/l} = \frac{mg}{2} \frac{2R}{\sqrt{l^2 - 4R^2}}$

$F = N_B = \frac{mgR}{\sqrt{l^2 - 4R^2}}$

Теперь подставим числовые значения:

$F = \frac{0.05 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.06 \text{ м}}{\sqrt{(0.13 \text{ м})^2 - 4 \cdot (0.06 \text{ м})^2}} = \frac{0.03 \text{ Н}}{\sqrt{0.0169 \text{ м}^2 - 4 \cdot 0.0036 \text{ м}^2}} = \frac{0.03 \text{ Н}}{\sqrt{0.0169 - 0.0144} \text{ м}} = \frac{0.03 \text{ Н}}{\sqrt{0.0025} \text{ м}} = \frac{0.03 \text{ Н}}{0.05 \text{ м}}$

$F = 0.6 \text{ Н}$

Ответ: $0.6 \text{ Н}$