Номер 655, страница 133 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса шеста $m = 4,0$ кг

Угол наклона к горизонту $\alpha = 45^\circ$

Все величины представлены в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с$^2$.

Найти:

а) $P_1$ - модуль силы давления шеста на стену

б) $F$ - модуль минимальной силы

Решение:

а) модуль силы давления шеста на стену;

Рассмотрим условия равновесия однородного шеста. На шест действуют следующие силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, приложенная к центру масс шеста (находящемуся посередине, так как шест однородный); сила реакции опоры со стороны гладкой стены $\vec{N_1}$, направленная перпендикулярно стене (горизонтально); сила реакции со стороны пола $\vec{R}$, которую можно разложить на вертикальную составляющую $\vec{N_2}$ и горизонтальную составляющую — силу трения покоя $\vec{f_{тр}}$.

Согласно третьему закону Ньютона, сила давления шеста на стену $P_1$ равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции стены $N_1$. Таким образом, $P_1 = N_1$.

Для нахождения $N_1$ воспользуемся правилом моментов. Запишем уравнение моментов сил относительно точки опоры шеста о пол (обозначим ее точкой O). Выбор этой точки в качестве оси вращения удобен, так как моменты сил $\vec{N_2}$ и $\vec{f_{тр}}$ относительно нее равны нулю (их плечи равны нулю).

Пусть длина шеста равна $L$.

Момент силы тяжести $M_g$ вращает шест по часовой стрелке. Плечо силы тяжести равно $d_g = \frac{L}{2}\cos\alpha$. Момент силы: $M_g = mg \cdot d_g = mg\frac{L}{2}\cos\alpha$.

Момент силы реакции стены $M_{N1}$ вращает шест против часовой стрелки. Плечо силы $N_1$ равно $d_{N1} = L\sin\alpha$. Момент силы: $M_{N1} = N_1 \cdot d_{N1} = N_1 L\sin\alpha$.

Условие равновесия моментов (сумма моментов, вращающих по часовой стрелке, равна сумме моментов, вращающих против часовой стрелки):

$M_g = M_{N1}$

$mg\frac{L}{2}\cos\alpha = N_1 L\sin\alpha$

Сокращая $L$, выражаем $N_1$:

$N_1 = \frac{mg \cos\alpha}{2 \sin\alpha} = \frac{mg}{2 \tan\alpha}$

Подставим числовые значения:

$P_1 = N_1 = \frac{4,0 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{2 \cdot \tan(45^\circ)} = \frac{39,2 \text{ Н}}{2 \cdot 1} = 19,6 \text{ Н}$

Ответ: 19,6 Н.

б) модуль минимальной силы, которую надо приложить в горизонтальном направлении к шесту на расстоянии 1/3 от его верхнего конца, чтобы шест не давил на стену.

Условие "шест не давит на стену" означает, что сила реакции стены $N_1$ равна нулю. К шесту приложена дополнительная горизонтальная сила $F$. Чтобы эта сила была минимальной при заданном горизонтальном направлении, она должна быть направлена от стены (вправо), создавая момент, противодействующий моменту силы тяжести.

Точка приложения силы $F$ находится на расстоянии $d = L/3$ от верхнего конца, что соответствует расстоянию $L - L/3 = 2L/3$ от нижнего конца (точки O).

Снова запишем уравнение моментов относительно точки O, учитывая, что $N_1 = 0$.

Момент силы тяжести $M_g$ остается прежним и вращает шест по часовой стрелке: $M_g = mg\frac{L}{2}\cos\alpha$.

Момент приложенной силы $M_F$ вращает шест против часовой стрелки. Плечо силы $F$ равно вертикальному расстоянию от точки O до линии действия силы: $d_F = \frac{2L}{3}\sin\alpha$. Момент силы: $M_F = F \cdot d_F = F \frac{2L}{3}\sin\alpha$.

Условие равновесия моментов ($N_1=0$):

$M_g = M_F$

$mg\frac{L}{2}\cos\alpha = F \frac{2L}{3}\sin\alpha$

Сокращая $L$, выражаем $F$:

$F = \frac{mg \frac{1}{2} \cos\alpha}{\frac{2}{3} \sin\alpha} = \frac{3}{4} mg \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{3mg}{4 \tan\alpha}$

Это единственное значение силы, удовлетворяющее условию, поэтому оно и является искомым.

Подставим числовые значения:

$F = \frac{3 \cdot 4,0 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{4 \cdot \tan(45^\circ)} = \frac{3 \cdot 39,2 \text{ Н}}{4 \cdot 1} = \frac{117,6 \text{ Н}}{4} = 29,4 \text{ Н}$

Ответ: 29,4 Н.