Номер 657, страница 133 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса лестницы-стремянки, $m = 10$ кг

Угол наклона каждой стороны с полом, $\alpha = 45°$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Модуль силы натяжения веревки, $T$

Решение:

Лестница-стремянка находится в состоянии статического равновесия. Это означает, что сумма всех сил и сумма моментов всех сил, действующих на лестницу (или любую ее часть), равны нулю.

Рассмотрим одну половину лестницы, например, правую. Пусть длина каждой половины лестницы равна $L$. На эту половину действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $P_1$, приложенная к центру масс этой половины. Поскольку лестница однородна, ее масса $m$ равномерно распределена между двумя половинами. Таким образом, масса одной половины равна $m/2$, а сила тяжести, действующая на нее, $P_1 = \frac{mg}{2}$.

2. Сила нормальной реакции опоры $N$, действующая со стороны пола вертикально вверх.

3. Сила натяжения веревки $T$, направленная горизонтально к другой половине лестницы.

4. Сила реакции $F_h$ в верхнем шарнире, действующая со стороны другой половины лестницы.

Сначала рассмотрим равновесие всей лестницы. В вертикальном направлении на нее действует сила тяжести $mg$ (вниз) и две силы нормальной реакции $N$ от пола (вверх), по одной на каждую опору. Из-за симметрии силы реакции одинаковы. Условие равновесия в вертикальном направлении:

$2N - mg = 0$

Отсюда находим силу нормальной реакции, действующую на одну опору:

$N = \frac{mg}{2}$

Теперь запишем условие равновесия для одной (правой) половины лестницы. Для этого воспользуемся правилом моментов. Удобно выбрать точку вращения в верхнем шарнире, так как в этом случае момент силы реакции шарнира $F_h$ будет равен нулю, и нам не придется ее вычислять.

Сумма моментов сил относительно верхнего шарнира равна нулю. Распишем моменты каждой силы:

1. Момент силы нормальной реакции $N$. Сила $N$ приложена к нижнему концу и направлена вверх. Плечо этой силы равно горизонтальному расстоянию от шарнира до линии действия силы: $d_N = L \cos\alpha$. Этот момент вращает половину лестницы против часовой стрелки (будем считать его положительным):

$M_N = N \cdot d_N = \frac{mg}{2} L \cos\alpha$

2. Момент силы тяжести $P_1 = \frac{mg}{2}$. Эта сила приложена к середине половины лестницы (на расстоянии $L/2$ от шарнира). Плечо этой силы равно горизонтальному расстоянию от шарнира до центра масс: $d_g = \frac{L}{2} \cos\alpha$. Этот момент вращает половину лестницы по часовой стрелке (будем считать его отрицательным):

$M_g = -P_1 \cdot d_g = -\frac{mg}{2} \cdot \frac{L}{2} \cos\alpha = -\frac{mgL}{4} \cos\alpha$

3. Момент силы натяжения веревки $T$. Сила $T$ горизонтальна и приложена к нижнему концу. Плечо этой силы равно вертикальному расстоянию от шарнира до веревки (до пола): $d_T = L \sin\alpha$. Этот момент также вращает половину лестницы по часовой стрелке (отрицательный):

$M_T = -T \cdot d_T = -T L \sin\alpha$

Условие равновесия моментов:

$M_N + M_g + M_T = 0$

$\frac{mg}{2} L \cos\alpha - \frac{mgL}{4} \cos\alpha - T L \sin\alpha = 0$

Сократим на $L$:

$\frac{mg}{2} \cos\alpha - \frac{mg}{4} \cos\alpha = T \sin\alpha$

$\frac{mg}{4} \cos\alpha = T \sin\alpha$

Выразим силу натяжения $T$:

$T = \frac{mg}{4} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{mg}{4 \tan\alpha}$

Подставим числовые значения:

$m = 10$ кг, $g = 10$ м/с², $\alpha = 45°$, $\tan(45°) = 1$.

$T = \frac{10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²}}{4 \cdot \tan(45°)} = \frac{100 \text{ Н}}{4 \cdot 1} = 25 \text{ Н}$

Ответ: Модуль силы натяжения веревки равен 25 Н.