Номер 662, страница 134 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Коэффициент трения: $\mu$

Найти:

Максимальный угол наклона плоскости $\alpha_{max}$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на цилиндр, и запишем условия равновесия. На цилиндр действуют: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $N$, сила натяжения нити $T$ и сила трения покоя $F_{тр}$.

Для того чтобы цилиндр находился в равновесии, должны выполняться два условия: сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю, и сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю.

Введем систему координат: ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх. Запишем первое условие равновесия (равенство нулю суммы сил) в проекциях на оси координат.

Проекция на ось $Oy$: $N - mg \cos\alpha = 0$, откуда получаем $N = mg \cos\alpha$ (1).

Проекция на ось $Ox$: $mg \sin\alpha - T - F_{тр} = 0$ (2). Здесь мы предположили, что сила трения $F_{тр}$ направлена вверх по склону.

Теперь запишем второе условие равновесия — равенство нулю суммы моментов сил относительно оси, проходящей через центр масс цилиндра. Моменты сил тяжести и нормальной реакции равны нулю. Момент силы натяжения $M_T = T \cdot R$ (где $R$ — радиус цилиндра) стремится вращать цилиндр против часовой стрелки. Чтобы его уравновесить, момент силы трения $M_{F_{тр}} = F_{тр} \cdot R$ должен быть направлен по часовой стрелке, что соответствует направлению силы трения вверх по склону.

Из условия равновесия моментов $M_T - M_{F_{тр}} = 0$ следует, что $T \cdot R - F_{тр} \cdot R = 0$, откуда $T = F_{тр}$ (3).

Подставим $T = F_{тр}$ из (3) в уравнение (2):

$mg \sin\alpha - F_{тр} - F_{тр} = 0$, что дает $mg \sin\alpha = 2 F_{тр}$, или $F_{тр} = \frac{1}{2} mg \sin\alpha$.

Цилиндр не будет скатываться, пока сила трения покоя не превышает своего максимального значения: $F_{тр} \le \mu N$. Максимальный угол $\alpha_{max}$ соответствует предельному случаю, когда $F_{тр} = \mu N$.

Подставим в это равенство выражения для $F_{тр}$ и $N$ из (1):

$\frac{1}{2} mg \sin\alpha_{max} = \mu (mg \cos\alpha_{max})$.

Сократив на $mg$, получаем $\frac{1}{2} \sin\alpha_{max} = \mu \cos\alpha_{max}$. Разделив обе части на $\cos\alpha_{max}$, находим:

$\tan\alpha_{max} = 2\mu$.

Ответ: Максимальное значение угла $\alpha$, при котором цилиндр не будет скатываться с наклонной плоскости, определяется условием $\tan \alpha = 2 \mu$.