Номер 667, страница 135 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Коэффициент трения скольжения клина по дереву: $\mu$

Угол при вершине равнобедренного клина: $\alpha$

Масса клина пренебрежимо мала.

Найти:

Максимальный угол $\alpha_{max}$

Решение:

Когда клин забит в щель, со стороны стенок щели на него действуют силы реакции опоры и силы трения. Рассмотрим силы, действующие на клин. Так как клин равнобедренный и симметрично забит, силы, действующие на обе его грани, будут одинаковы по величине.

На каждую грань клина действуют:

1. Сила нормальной реакции опоры $N$, перпендикулярная грани.

2. Сила трения $F_{тр}$, направленная вдоль грани.

Клин будет выскакивать из щели, если составляющая сил нормальной реакции, направленная вдоль оси симметрии клина наружу, окажется больше, чем составляющая сил трения, направленная внутрь.

Выберем ось $Oy$, направленную вдоль оси симметрии клина из щели. Угол при вершине клина равен $\alpha$, значит, угол между гранью клина и осью $Oy$ равен $\alpha/2$.

Сила нормальной реакции $N$ перпендикулярна грани, следовательно, угол между вектором силы $N$ и осью $Oy$ составляет $90^\circ - \alpha/2$. Проекция силы $N$ на ось $Oy$ равна:

$N_y = N \cos(90^\circ - \alpha/2) = N \sin(\alpha/2)$

Так как на клин действуют две такие силы с обеих сторон, суммарная сила, выталкивающая клин, равна:

$F_{выт} = 2N \sin(\alpha/2)$

Сила трения $F_{тр}$ направлена вдоль грани, препятствуя выскакиванию клина, то есть вглубь щели. Угол между вектором силы $F_{тр}$ и осью $Oy$ равен $\alpha/2$. Проекция силы трения на ось $Oy$ отрицательна (направлена против оси):

$(F_{тр})_y = -F_{тр} \cos(\alpha/2)$

Суммарная сила трения от двух граней, удерживающая клин, направлена вдоль оси $Oy$ в отрицательном направлении, и её модуль равен:

$F_{уд} = 2F_{тр} \cos(\alpha/2)$

Клин не выскочит, если удерживающая сила будет больше или равна выталкивающей силе:

$F_{уд} \ge F_{выт}$

$2F_{тр} \cos(\alpha/2) \ge 2N \sin(\alpha/2)$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции через коэффициент трения $\mu$: $F_{тр} = \mu N$. В условии равновесия мы рассматриваем предельный случай, когда сила трения покоя достигает своего максимального значения, равного силе трения скольжения.

$2(\mu N) \cos(\alpha/2) \ge 2N \sin(\alpha/2)$

Сократив $2N$ (так как $N \ne 0$), получим:

$\mu \cos(\alpha/2) \ge \sin(\alpha/2)$

Разделим обе части на $\cos(\alpha/2)$ (для острого угла $\alpha$ значение $\cos(\alpha/2)$ положительно):

$\mu \ge \tan(\alpha/2)$

Это условие, при котором клин не выскочит. Максимальный угол $\alpha_{max}$ соответствует знаку равенства:

$\tan(\alpha_{max}/2) = \mu$

Отсюда находим $\alpha_{max}$:

$\alpha_{max}/2 = \arctan(\mu)$

$\alpha_{max} = 2 \arctan(\mu)$

Ответ: Максимальный угол, при котором клин не выскочит из щели, равен $\alpha_{max} = 2 \arctan(\mu)$.