Номер 665, страница 135 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Высота бруска: $h = a$

Длина бруска: $L = 2a$

Высота точки приложения силы: $h_F = a/2$

Коэффициент трения: $\mu = 0,50$

Скорость: $v = \text{const}$ (движение равномерное)

Перевод в СИ не требуется, так как решение будет в общем виде.

Найти:

Минимальный угол наклона веревки, при котором брусок начнет приподниматься: $\alpha_{min}$

Решение:

На брусок действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз из центра масс; сила натяжения веревки $\vec{F}$, приложенная к переднему углу на высоте $a/2$ под углом $\alpha$ к горизонту; сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх; и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, направленная горизонтально против движения.

Поскольку брусок движется равномерно и прямолинейно, он находится в состоянии равновесия. Это означает, что сумма всех сил, действующих на брусок, равна нулю, и сумма моментов всех сил относительно любой точки также равна нулю.

Запишем условия равновесия в проекциях на оси координат (ось X — горизонтально, ось Y — вертикально):

1) Сумма сил по оси X: $F_x - F_{тр} = 0$

$F \cos\alpha - F_{тр} = 0$

2) Сумма сил по оси Y: $N + F_y - mg = 0$

$N + F \sin\alpha - mg = 0$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры соотношением: $F_{тр} = \mu N$.

Подставим это в первое уравнение:

$F \cos\alpha = \mu N$ (1)

Из второго уравнения выразим $N$:

$N = mg - F \sin\alpha$ (2)

Подставим выражение для $N$ из (2) в (1):

$F \cos\alpha = \mu (mg - F \sin\alpha)$

$F \cos\alpha = \mu mg - \mu F \sin\alpha$

$F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = \mu mg$ (3)

Брусок начнет приподниматься, когда он начнет поворачиваться вокруг своего заднего нижнего ребра. Обозначим эту точку (ось вращения) как O. В этот предельный момент вся сила реакции опоры $\vec{N}$ будет приложена в этой точке O. Для нахождения угла $\alpha_{min}$ запишем условие равновесия моментов сил относительно точки O.

Моменты сил, создаваемые $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}$ относительно точки O, равны нулю, так как их плечи равны нулю.

Момент силы тяжести $m\vec{g}$ создает вращение по часовой стрелке (отрицательный момент). Плечо силы тяжести равно половине длины бруска, так как брусок однородный, т.е. $L/2 = 2a/2 = a$.

$M_g = -mg \cdot a$

Сила $\vec{F}$ создает момент, вращающий брусок против часовой стрелки (положительный момент). Его можно разложить на две составляющие: горизонтальную $F_x = F \cos\alpha$ и вертикальную $F_y = F \sin\alpha$.

Плечо горизонтальной составляющей равно высоте приложения силы $h_F = a/2$. Момент $M_x = (F \cos\alpha) \cdot (a/2)$.

Плечо вертикальной составляющей равно длине бруска $L = 2a$. Момент $M_y = (F \sin\alpha) \cdot (2a)$.

Сумма моментов относительно точки O равна нулю:

$M_x + M_y + M_g = 0$

$(F \cos\alpha) \frac{a}{2} + (F \sin\alpha) 2a - mga = 0$

Разделим все члены на $a$ (при $a \neq 0$):

$F (\frac{1}{2}\cos\alpha + 2\sin\alpha) = mg$ (4)

Теперь у нас есть два выражения для $mg$ из уравнений (3) и (4). Приравняем их, предварительно выразив $mg$ из (3): $mg = \frac{F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha)}{\mu}$.

$F (\frac{1}{2}\cos\alpha + 2\sin\alpha) = \frac{F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha)}{\mu}$

Сократим на $F$ (так как $F \neq 0$):

$\mu (\frac{1}{2}\cos\alpha + 2\sin\alpha) = \cos\alpha + \mu \sin\alpha$

$\frac{\mu}{2}\cos\alpha + 2\mu\sin\alpha = \cos\alpha + \mu \sin\alpha$

Сгруппируем члены с $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$:

$2\mu\sin\alpha - \mu\sin\alpha = \cos\alpha - \frac{\mu}{2}\cos\alpha$

$\mu\sin\alpha = (1 - \frac{\mu}{2})\cos\alpha$

Разделив на $\cos\alpha$ (при $\alpha \neq 90^\circ$), получим тангенс искомого угла $\alpha_{min}$:

$\tan\alpha_{min} = \frac{1 - \mu/2}{\mu} = \frac{1}{\mu} - \frac{1}{2}$

Подставим числовое значение коэффициента трения $\mu = 0,50$:

$\tan\alpha_{min} = \frac{1}{0,50} - \frac{1}{2} = 2 - 0,5 = 1,5$

$\alpha_{min} = \arctan(1,5) \approx 56,3^\circ$

Ответ:

Наименьший угол, при котором брусок начнет приподниматься, равен $\alpha_{min} = \arctan(1,5) \approx 56,3^\circ$.