Номер 666, страница 135 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Радиус шара: $R$
Масса шара: $m$
Длина нити: $l = 2R$
Шар находится в равновесии.

Найти:

Модуль силы натяжения нити $T$ - ?
Модуль силы трения $F_{тр}$ - ?

Решение:

На шар действуют четыре силы:
1. Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз и приложенная к центру шара C.
2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити от точки крепления A.
3. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ со стороны стены, направленная перпендикулярно стене (горизонтально).
4. Сила трения $\vec{F}_{тр}$ со стороны стены, направленная вдоль стены (вертикально).

Поскольку шар находится в равновесии, должны выполняться два условия равновесия:
1. Сумма всех сил, действующих на шар, равна нулю (равновесие поступательного движения): $\sum \vec{F} = m\vec{g} + \vec{T} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = 0$.
2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю (равновесие вращательного движения): $\sum \vec{\tau} = 0$.

Введем систему координат с началом в центре шара C, осью Oy, направленной вертикально вверх, и осью Ox, направленной горизонтально вправо (от стены).

Определим угол $\alpha$, который нить составляет с вертикалью. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный нитью, горизонталью, проведенной из точки крепления на стене, и вертикалью, на которой лежат точки A и C. Горизонтальный катет этого треугольника равен радиусу шара $R$. Гипотенуза равна длине нити $l=2R$. Тогда синус угла $\alpha$ между нитью и вертикалью равен:
$\sin \alpha = \frac{R}{l} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = 30^\circ$. Косинус этого угла $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (1/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Запишем первое условие равновесия в проекциях на оси координат. Будем считать, что сила трения $\vec{F}_{тр}$ направлена вверх. Если в результате расчетов ее значение получится отрицательным, значит, она направлена вниз.
Проекция на ось Ox: $N - T \sin \alpha = 0$.
Проекция на ось Oy: $F_{тр} + T \cos \alpha - mg = 0$.

Для нахождения трех неизвестных ($T$, $N$, $F_{тр}$) воспользуемся вторым условием равновесия — правилом моментов. В качестве оси вращения выберем ось, проходящую через центр шара C перпендикулярно плоскости рисунка. Моменты силы тяжести $m\vec{g}$ и силы нормальной реакции $\vec{N}$ равны нулю, так как линии их действия проходят через центр шара.
Момент силы натяжения $\vec{T}$ стремится повернуть шар против часовой стрелки. Сила $\vec{T}$ приложена в точке A, находящейся на расстоянии $R$ от центра. Плечо силы $T$ относительно центра C равно $d_T = R \sin \alpha$. Момент силы натяжения: $\tau_T = T \cdot (R \sin \alpha) = T R \frac{1}{2}$.
Момент силы трения $\vec{F}_{тр}$ стремится повернуть шар по часовой стрелке. Сила трения приложена в точке касания шара со стеной, на расстоянии $R$ от центра. Плечо силы $F_{тр}$ равно $R$. Момент силы трения: $\tau_{тр} = F_{тр} \cdot R$.

Запишем уравнение моментов, считая вращение против часовой стрелки положительным:
$\sum \tau_C = \tau_T - \tau_{тр} = 0$
$T R \sin \alpha - F_{тр} R = 0$
$T R \frac{1}{2} - F_{тр} R = 0$
Разделив на $R$ (так как $R \neq 0$), получаем: $F_{тр} = \frac{T}{2}$.

Поскольку $T$ (модуль силы) является положительной величиной, то и $F_{тр}$ положительна. Это означает, что наше предположение о направлении силы трения вверх было верным.

Теперь у нас есть система из трех уравнений:
1) $N = T \sin \alpha = T/2$
2) $F_{тр} + T \cos \alpha = mg$
3) $F_{тр} = T/2$

Подставим выражение для $F_{тр}$ из уравнения (3) в уравнение (2):
$\frac{T}{2} + T \cos \alpha = mg$
$\frac{T}{2} + T \frac{\sqrt{3}}{2} = mg$
$T \left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right) = mg$
Отсюда выражаем силу натяжения нити $T$:
$T = \frac{2mg}{1 + \sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $(1 - \sqrt{3})$:
$T = \frac{2mg(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{2mg(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{2mg(1 - \sqrt{3})}{-2} = mg(\sqrt{3} - 1)$.

Теперь найдем силу трения из уравнения (3):
$F_{тр} = \frac{T}{2} = \frac{mg(\sqrt{3} - 1)}{2}$.

Ответ: Модуль силы натяжения нити $T = mg(\sqrt{3} - 1)$. Модуль силы трения $F_{тр} = \frac{mg(\sqrt{3} - 1)}{2}$.