Номер 658, страница 134 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$l = 4,0 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

$\mu = 0,25$

Найти:

$x_{max}$

Решение:

Рассмотрим условия равновесия лестницы в момент, когда она готова начать скользить. На лестницу действуют следующие силы:

1. Сила тяжести человека $P = mg$, приложенная на расстоянии $x$ от нижнего конца лестницы и направленная вертикально вниз.

2. Сила нормальной реакции со стороны пола $N_1$, направленная вертикально вверх.

3. Сила трения покоя со стороны пола $F_{тр}$, направленная горизонтально к стене. В предельном случае, когда лестница вот-вот начнет скользить, эта сила достигает своего максимального значения $F_{тр_{max}} = \mu N_1$.

4. Сила нормальной реакции со стороны гладкой стены $N_2$, направленная горизонтально от стены.

Для равновесия необходимо, чтобы сумма всех сил и сумма моментов всех сил относительно любой точки были равны нулю.

Первое условие равновесия (равенство нулю суммы всех сил) в проекциях на оси координат:

Ось OY (вертикальная): $N_1 - P = 0 \implies N_1 = P = mg$

Ось OX (горизонтальная): $N_2 - F_{тр} = 0 \implies N_2 = F_{тр}$

Поскольку мы ищем максимальное расстояние $x_{max}$, мы рассматриваем момент начала скольжения, когда сила трения максимальна:

$F_{тр} = F_{тр_{max}} = \mu N_1$

Подставив $N_1 = P$, получаем: $F_{тр} = \mu P$.

Следовательно, $N_2 = \mu P$.

Второе условие равновесия (равенство нулю суммы моментов сил). Выберем точку O (нижний конец лестницы, точка опоры на пол) в качестве оси вращения. В этом случае моменты сил $N_1$ и $F_{тр}$ равны нулю, так как их плечи равны нулю.

Уравнение моментов будет выглядеть так: $M(N_2) - M(P) = 0$.

Момент силы тяжести человека $M(P)$ стремится повернуть лестницу по часовой стрелке (принято считать отрицательным). Плечо этой силы равно $x_{max} \cos(\alpha)$.

$M(P) = P \cdot x_{max} \cos(\alpha)$

Момент силы реакции стены $M(N_2)$ стремится повернуть лестницу против часовой стрелки (положительный момент). Плечо этой силы равно высоте, на которой лестница касается стены, то есть $l \sin(\alpha)$.

$M(N_2) = N_2 \cdot l \sin(\alpha)$

Запишем уравнение моментов:

$N_2 \cdot l \sin(\alpha) - P \cdot x_{max} \cos(\alpha) = 0$

Подставим в это уравнение выражение для $N_2$, которое мы нашли ранее: $N_2 = \mu P$.

$\mu P \cdot l \sin(\alpha) - P \cdot x_{max} \cos(\alpha) = 0$

Масса человека $m$ (и, соответственно, сила тяжести $P$) сокращается:

$\mu l \sin(\alpha) = x_{max} \cos(\alpha)$

Выразим $x_{max}$:

$x_{max} = \frac{\mu l \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \mu l \tan(\alpha)$

Подставим числовые значения:

$x_{max} = 0,25 \cdot 4,0 \text{ м} \cdot \tan(60^\circ) = 1,0 \cdot \sqrt{3} \text{ м} \approx 1,73 \text{ м}$

Ответ: Максимальное расстояние, на которое может подняться человек вдоль лестницы, составляет приблизительно $1,73 \text{ м}$.