Номер 652, страница 133 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Однородный стержень

Угол отклонения от вертикали: $\alpha$

Удерживающая сила: $\vec{F}$, $|\vec{F}| = F$

Сила $\vec{F}$ перпендикулярна стержню.

Найти:

Массу стержня $m$

Модуль силы, с которой стержень действует на шарнир $R_{шарн}$

Решение:

На стержень в состоянии равновесия действуют три силы: сила тяжести $\vec{P} = m\vec{g}$, приложенная к центру масс стержня (его середине); внешняя сила $\vec{F}$; и сила реакции шарнира $\vec{R}$, приложенная в точке крепления O. Стержень находится в равновесии, следовательно, сумма всех сил и сумма моментов всех сил равны нулю.

$\sum \vec{F_i} = \vec{P} + \vec{F} + \vec{R} = 0$

$\sum M_i = 0$

Сила, с которой стержень действует на шарнир, по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции шарнира $\vec{R}$. Таким образом, $R_{шарн} = |\vec{R}|$.

массу стержня

Для определения массы стержня воспользуемся правилом моментов относительно точки O (шарнира). Момент силы реакции шарнира $\vec{R}$ относительно этой точки равен нулю, так как плечо силы равно нулю. Обозначим длину стержня как $L$.

Момент силы $\vec{F}$ приложен к концу стержня на расстоянии $L$ от точки O. Так как сила перпендикулярна стержню, ее плечо равно $L$. Этот момент вращает стержень против часовой стрелки (примем это направление за положительное): $M_F = F \cdot L$.

Сила тяжести $\vec{P} = m\vec{g}$ приложена к середине стержня (на расстоянии $L/2$ от точки O), так как стержень однородный. Плечо силы тяжести равно перпендикулярному расстоянию от точки O до линии действия силы: $d_P = \frac{L}{2}\sin\alpha$. Этот момент вращает стержень по часовой стрелке (отрицательное направление): $M_P = -mg \cdot \frac{L}{2}\sin\alpha$.

Условие равновесия моментов: $\sum M_O = M_F + M_P = 0$.

$F \cdot L - mg \frac{L}{2}\sin\alpha = 0$

Сокращаем на $L$ и выражаем массу $m$:

$F = \frac{mg\sin\alpha}{2}$

$m = \frac{2F}{g\sin\alpha}$

Ответ: $m = \frac{2F}{g\sin\alpha}$

модуль силы, с которой он действует на шарнир

Для нахождения модуля силы реакции шарнира $R$ воспользуемся условием равенства нулю векторной суммы всех сил. Введем систему координат с началом в точке O, осью OY, направленной вертикально вверх, и осью OX, направленной горизонтально вправо. Запишем уравнения равновесия в проекциях на эти оси.

Проекции сил:

• Сила тяжести: $P_x = 0$, $P_y = -mg$.
• Сила $\vec{F}$ перпендикулярна стержню, который отклонен на угол $\alpha$ от вертикали. Следовательно, сила $\vec{F}$ образует угол $\alpha$ с горизонталью. Ее проекции: $F_x = F\cos\alpha$, $F_y = F\sin\alpha$.
• Сила реакции шарнира: $\vec{R} = (R_x, R_y)$.

Уравнение для оси OX:

$\sum F_x = R_x + F_x + P_x = 0$

$R_x + F\cos\alpha + 0 = 0 \implies R_x = -F\cos\alpha$

Уравнение для оси OY:

$\sum F_y = R_y + F_y + P_y = 0$

$R_y + F\sin\alpha - mg = 0 \implies R_y = mg - F\sin\alpha$

Подставим ранее найденное выражение для массы $m = \frac{2F}{g\sin\alpha}$ в уравнение для $R_y$:

$R_y = g \left( \frac{2F}{g\sin\alpha} \right) - F\sin\alpha = \frac{2F}{\sin\alpha} - F\sin\alpha = F \left( \frac{2 - \sin^2\alpha}{\sin\alpha} \right)$

Модуль силы реакции шарнира $R$ равен:

$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-F\cos\alpha)^2 + \left(F \frac{2 - \sin^2\alpha}{\sin\alpha}\right)^2}$

$R^2 = F^2\cos^2\alpha + F^2\frac{(2 - \sin^2\alpha)^2}{\sin^2\alpha} = F^2 \left( \cos^2\alpha + \frac{4 - 4\sin^2\alpha + \sin^4\alpha}{\sin^2\alpha} \right)$

Приведем к общему знаменателю, используя тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$:

$R^2 = F^2 \left( \frac{(1 - \sin^2\alpha)\sin^2\alpha + 4 - 4\sin^2\alpha + \sin^4\alpha}{\sin^2\alpha} \right)$

$R^2 = F^2 \left( \frac{\sin^2\alpha - \sin^4\alpha + 4 - 4\sin^2\alpha + \sin^4\alpha}{\sin^2\alpha} \right)$

$R^2 = F^2 \frac{4 - 3\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}$

$R = \sqrt{F^2 \frac{4 - 3\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{F}{\sin\alpha}\sqrt{4 - 3\sin^2\alpha}$

Поскольку $R_{шарн} = R$, то искомая сила равна полученному значению.

Ответ: $\frac{F}{\sin\alpha}\sqrt{4 - 3\sin^2\alpha}$