Номер 646, страница 131 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_0 = 96$ г

Стержень согнут под углом $90^\circ$

Перевод в СИ:

$m_0 = 0.096$ кг

Найти:

а) $\alpha$

б) $m$

в) $F_{min}$

Решение:

Пусть общая длина однородного стержня равна $2L$. Стержень согнут посередине, поэтому он состоит из двух частей длиной $L$ каждая. Так как стержень однородный, масса каждой половины равна $m_1 = m_2 = m_0 / 2$. Центр масс каждой половины ($C_1$ и $C_2$) находится в ее середине.

Обозначим точку подвеса (шарнир) как $O$, точку сгиба как $A$, а свободный конец как $B$. Таким образом, стержень представляет собой систему из двух частей $OA$ и $AB$, соединенных под прямым углом.

а) угол, который образует верхняя половина стержня с вертикалью;

В положении равновесия тело занимает такое положение, при котором его общий центр масс находится на вертикали, проходящей через точку подвеса. Это эквивалентно тому, что сумма моментов сил тяжести относительно точки подвеса равна нулю.Пусть верхняя половина стержня $OA$ образует угол $\alpha$ с вертикалью. Сила тяжести $m_1 g$, приложенная в центре масс $C_1$, создает вращающий момент $M_1$ относительно точки $O$. Плечо этой силы равно $d_1 = (L/2) \sin\alpha$. Момент этой силы $M_1 = m_1 g d_1 = (m_0/2)g (L/2) \sin\alpha$.

Нижняя половина стержня $AB$ составляет угол $90^\circ$ с $OA$. Для равновесия моменты сил должны быть направлены в противоположные стороны. Это значит, что центры масс $C_1$ и $C_2$ должны находиться по разные стороны от вертикали, проходящей через точку подвеса $O$. Плечо силы тяжести $m_2 g$, приложенной в $C_2$, равно горизонтальному расстоянию от $O$ до $C_2$. Это расстояние можно выразить через $\alpha$ как $d_2 = |L\sin\alpha - (L/2)\cos\alpha|$.

Момент силы $M_2 = m_2 g d_2 = (m_0/2)g |L\sin\alpha - (L/2)\cos\alpha|$.

В положении равновесия моменты сил должны уравновешивать друг друга: $M_1 = M_2$.

$(m_0/2)g (L/2) \sin\alpha = (m_0/2)g |L\sin\alpha - (L/2)\cos\alpha|$.

Сокращая общие множители, получаем: $(1/2)\sin\alpha = |\sin\alpha - (1/2)\cos\alpha|$.

Чтобы моменты были направлены в разные стороны, выражение в модуле должно быть отрицательным: $\sin\alpha - (1/2)\cos\alpha < 0$, что означает $\tan\alpha < 1/2$.

Тогда уравнение принимает вид: $(1/2)\sin\alpha = -(\sin\alpha - (1/2)\cos\alpha) = -\sin\alpha + (1/2)\cos\alpha$.

$(1/2)\sin\alpha + \sin\alpha = (1/2)\cos\alpha \implies (3/2)\sin\alpha = (1/2)\cos\alpha$.

$3\sin\alpha = \cos\alpha \implies \tan\alpha = 1/3$.

Условие $\tan\alpha < 1/2$ выполняется, так как $1/3 < 1/2$. Угол $\alpha = \arctan(1/3) \approx 18.4^\circ$.

Ответ: Угол, который образует верхняя половина стержня с вертикалью, равен $\alpha = \arctan(1/3)$.

б) массу груза, который надо подвесить на другом конце стержня, чтобы середина его нижней половины находилась на одной вертикальной линии с точкой подвеса;

Пусть на свободный конец $B$ подвешен груз массой $m$. Условие задачи означает, что центр масс нижней половины стержня $C_2$ должен находиться на одной вертикали с точкой подвеса $O$. Это значит, что горизонтальная координата $C_2$ равна нулю.Пусть в этом новом положении равновесия верхняя часть стержня $OA$ составляет угол $\beta$ с горизонтом. Тогда горизонтальная координата $C_2$ равна $x_{C2} = L\cos\beta - (L/2)\sin\beta$.

Приравниваем $x_{C2}$ к нулю: $L\cos\beta - (L/2)\sin\beta = 0 \implies \tan\beta = 2$.

Теперь запишем условие равновесия моментов сил относительно точки подвеса $O$. Вращение по часовой стрелке создается силой тяжести $m_1 g$, приложенной в $C_1$. Вращение против часовой стрелки создается силой тяжести $mg$ подвешенного груза, приложенной в точке $B$. Сила тяжести $m_2 g$ в $C_2$ не создает момента, так как ее плечо равно нулю ($x_{C2}=0$).

Плечо силы $m_1 g$ равно $d_1 = (L/2)\cos\beta$. Момент $M_1 = m_1 g d_1 = (m_0/4)gL\cos\beta$.

Плечо силы $mg$ равно $d_B = |x_B| = |L\cos\beta - L\sin\beta| = L\sin\beta - L\cos\beta$ (так как $\tan\beta=2 > 1$).

Момент $M_B = mg d_B = mg(L\sin\beta - L\cos\beta)$.

Приравниваем моменты: $(m_0/4)gL\cos\beta = mg(L\sin\beta - L\cos\beta)$.

Сокращая $gL$ и выражая $m$: $m = \frac{m_0 \cos\beta}{4(\sin\beta - \cos\beta)} = \frac{m_0}{4(\tan\beta - 1)}$.

Подставляем $\tan\beta = 2$: $m = \frac{m_0}{4(2 - 1)} = \frac{m_0}{4}$.

Вычисляем массу: $m = 96 \text{ г} / 4 = 24 \text{ г}$.

Ответ: Масса груза равна 24 г.

в) модуль минимальной силы, которую следует приложить к свободному концу стержня, чтобы его верхняя половина заняла вертикальное положение.

Когда верхняя половина $OA$ занимает вертикальное положение, ее центр масс $C_1$ находится на вертикали под точкой подвеса $O$ и не создает вращающего момента.Нижняя половина $AB$ в этом случае будет расположена горизонтально. Ее центр масс $C_2$ будет находиться на расстоянии $L/2$ по горизонтали от вертикали, проходящей через $O$.

Сила тяжести $m_2 g = (m_0/2)g$, приложенная в $C_2$, создает гравитационный момент $M_g$: $M_g = m_2 g \cdot (L/2) = (m_0/2)g \cdot (L/2) = \frac{m_0 g L}{4}$.

Чтобы удерживать стержень, нужно приложить силу $F$ к свободному концу $B$, создающую уравновешивающий момент $M_F = F \cdot d_F$, равный по модулю $M_g$.

$F = \frac{M_g}{d_F}$. Сила $F$ будет минимальной ($F_{min}$), когда ее плечо $d_F$ будет максимальным. Максимальное плечо для силы, приложенной к точке $B$, равно расстоянию от оси вращения $O$ до точки $B$.

В рассматриваемом положении (OA — вертикально, AB — горизонтально), расстояние $OB$ равно: $d_{F,max} = \sqrt{L^2 + L^2} = L\sqrt{2}$.

Минимальная сила $F_{min}$ достигается, когда она перпендикулярна отрезку $OB$.

$F_{min} = \frac{M_g}{d_{F,max}} = \frac{m_0 g L / 4}{L\sqrt{2}} = \frac{m_0 g}{4\sqrt{2}} = \frac{m_0 g \sqrt{2}}{8}$.

Подставляем числовые значения ($m_0 = 0.096$ кг, $g \approx 9.8$ м/с$^2$):

$F_{min} = \frac{0.096 \cdot 9.8}{4\sqrt{2}} \approx \frac{0.9408}{5.657} \approx 0.166$ Н.

Ответ: Модуль минимальной силы равен $F_{min} = \frac{m_0 g}{4\sqrt{2}} \approx 0.166$ Н.