Номер 653, страница 133 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Угол отклонения первого шарика, $\alpha = 30^\circ$

Угол отклонения второго шарика, $\beta = 45^\circ$

Масса второго шарика, $m_2 = 49 \text{ г}$

Переведем массу в систему СИ:

$m_2 = 49 \text{ г} = 0.049 \text{ кг}$

Найти:

Массу первого шарика, $m_1$

Решение:

Система, состоящая из двух шариков, соединенных невесомым жестким стержнем, находится в равновесии. Это означает, что суммарный момент сил, действующих на систему, относительно любой точки равен нулю. Наиболее удобной точкой для расчета моментов является точка подвеса нитей (обозначим ее O), так как моменты сил натяжения нитей относительно этой точки равны нулю (их плечи равны нулю).

На систему действуют две силы, создающие вращающий момент относительно точки O: сила тяжести первого шарика $F_1 = m_1 g$ и сила тяжести второго шарика $F_2 = m_2 g$.

Момент силы ($M$) вычисляется как произведение модуля силы ($F$) на ее плечо ($d$): $M = F \cdot d$. Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения (точки O) до линии действия силы.

Пусть длина невесомых нитей одинакова и равна $L$.

Плечо силы тяжести первого шарика $d_1$ равно горизонтальному расстоянию от шарика до вертикали, проходящей через точку O. Из геометрии системы (см. рис. 140) видно, что:

$d_1 = L \sin\alpha$

Аналогично, плечо силы тяжести второго шарика $d_2$ равно:

$d_2 = L \sin\beta$

Сила тяжести $F_1$ создает вращающий момент $M_1$, стремящийся повернуть систему против часовой стрелки, а сила $F_2$ создает момент $M_2$, стремящийся повернуть систему по часовой стрелке.

Условие равновесия моментов:

$M_1 = M_2$

$F_1 d_1 = F_2 d_2$

Подставим выражения для сил и их плеч:

$m_1 g (L \sin\alpha) = m_2 g (L \sin\beta)$

Сократим общие множители $g$ и $L$ в обеих частях уравнения:

$m_1 \sin\alpha = m_2 \sin\beta$

Выразим искомую массу $m_1$:

$m_1 = m_2 \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$

Подставим числовые значения:

$m_1 = 49 \text{ г} \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$

Значения синусов: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

$m_1 = 49 \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 49 \cdot \sqrt{2} \text{ г}$

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$m_1 \approx 49 \cdot 1.414 \approx 69.286 \text{ г}$

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных, получаем $m_1 \approx 69 \text{ г}$.

Ответ: масса первого шарика $m_1 = 49\sqrt{2} \text{ г} \approx 69 \text{ г}$.