Номер 648, страница 132 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса стержня $m = 80$ г

Угол сгиба $\alpha = 120^\circ$

$m = 80 \text{ г} = 0.08 \text{ кг}$

Найти:

Массу груза $m_x$

Решение:

Для решения задачи используем условие равновесия рычага (правило моментов). Стержень, подвешенный в точке сгиба O, будет находиться в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех сил относительно точки подвеса равна нулю. Это значит, что суммарный момент сил, вращающий стержень по часовой стрелке, должен быть равен суммарному моменту сил, вращающему его против часовой стрелки.

Пусть полная длина стержня равна $L$. Так как стержень однородный и согнут посередине, он состоит из двух одинаковых частей длиной $L/2$ и массой $m/2$ каждая. Центр масс каждой части находится в её середине, на расстоянии $L/4$ от точки сгиба O.

Согласно условию, к концу одной стороны подвешивают груз массой $m_x$, чтобы другая сторона заняла горизонтальное положение. Пусть сторона OB стала горизонтальной, а груз $m_x$ подвешен к концу A стороны OA.

Рассмотрим моменты сил относительно оси вращения, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости стержня. Момент силы $M$ равен произведению модуля силы $F$ на её плечо $l$: $M = F \cdot l$.

1. Момент силы тяжести горизонтальной части OB ($M_{OB}$). Сила тяжести этой части $F_{OB} = \frac{m}{2}g$ приложена в её центре масс. Плечо этой силы равно расстоянию от точки O до центра масс, то есть $l_{OB} = L/4$. Эта сила создает вращающий момент по часовой стрелке.
$M_{OB} = \frac{m}{2}g \cdot \frac{L}{4}$

2. Момент силы тяжести наклонной части OA ($M_{OA}$). Сила тяжести $F_{OA} = \frac{m}{2}g$ также приложена в центре масс этой части. Угол между сторонами OA и OB составляет $\alpha = 120^\circ$. Так как OB горизонтальна, то OA наклонена к вертикали под углом $\beta = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$. Плечо силы тяжести $F_{OA}$ равно $l_{OA} = \frac{L}{4} \sin(\beta) = \frac{L}{4} \sin(30^\circ)$. Эта сила создает вращающий момент против часовой стрелки.
$M_{OA} = \frac{m}{2}g \cdot \frac{L}{4} \sin(30^\circ)$

3. Момент силы тяжести груза $m_x$ ($M_x$). Сила тяжести груза $F_x = m_x g$ приложена в точке A на расстоянии $L/2$ от точки O. Плечо этой силы равно $l_x = \frac{L}{2} \sin(\beta) = \frac{L}{2} \sin(30^\circ)$. Эта сила также создает вращающий момент против часовой стрелки.
$M_x = m_x g \cdot \frac{L}{2} \sin(30^\circ)$

Запишем уравнение равновесия моментов:
$M_{OB} = M_{OA} + M_x$
$\frac{m}{2}g \frac{L}{4} = \frac{m}{2}g \frac{L}{4} \sin(30^\circ) + m_x g \frac{L}{2} \sin(30^\circ)$

Сократим обе части уравнения на общие множители $g$ и $L$:
$\frac{m}{8} = \frac{m}{8} \sin(30^\circ) + \frac{m_x}{2} \sin(30^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = 1/2$, подставим это значение в уравнение:
$\frac{m}{8} = \frac{m}{8} \cdot \frac{1}{2} + \frac{m_x}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$\frac{m}{8} = \frac{m}{16} + \frac{m_x}{4}$

Теперь решим уравнение относительно $m_x$:
$\frac{m_x}{4} = \frac{m}{8} - \frac{m}{16}$
$\frac{m_x}{4} = \frac{2m - m}{16} = \frac{m}{16}$
$m_x = \frac{4m}{16} = \frac{m}{4}$

Подставим заданное значение массы стержня $m = 80$ г:
$m_x = \frac{80 \text{ г}}{4} = 20 \text{ г}$

Ответ: для того чтобы одна сторона стержня приняла горизонтальное положение, к концу другой стороны надо подвесить груз массой 20 г.