Номер 643, страница 131 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m_0 = 78 \text{ г}$
$L_{AO} = 2 L_{OB}$
$\alpha = 45^\circ$

$m_0 = 78 \text{ г} = 0.078 \text{ кг}$

Найти:

$m$

Решение:

Система, состоящая из согнутой проволоки и прикрепленного к ней шарика, находится в равновесии. Согласно условию равновесия, сумма моментов всех сил, действующих на систему, относительно точки подвеса O, должна быть равна нулю.

$ \sum M_O = 0 $

Моменты сил создают: сила тяжести части проволоки AO ($P_{AO}$), сила тяжести части проволоки OB ($P_{OB}$) и сила тяжести шарика ($P_{шар}$). Сила натяжения нити, на которой подвешена система, приложена к точке O, поэтому ее плечо и, соответственно, момент силы равны нулю.

Так как проволока однородная, ее масса прямо пропорциональна длине. Пусть длина отрезка OB равна $l$, тогда по условию длина отрезка AO равна $2l$. Общая длина проволоки $L_{AB} = L_{AO} + L_{OB} = 2l + l = 3l$.

Массы частей проволоки можно выразить через общую массу $m_0$:
Масса части AO: $m_{AO} = \frac{L_{AO}}{L_{AB}} m_0 = \frac{2l}{3l} m_0 = \frac{2}{3}m_0$.
Масса части OB: $m_{OB} = \frac{L_{OB}}{L_{AB}} m_0 = \frac{l}{3l} m_0 = \frac{1}{3}m_0$.

Силы тяжести для однородных стержней AO и OB приложены к их центрам масс, то есть к их серединам.
- Сила $P_{AO} = m_{AO}g$ приложена на расстоянии $d_{AO} = \frac{L_{AO}}{2} = \frac{2l}{2} = l$ от точки O.
- Сила $P_{OB} = m_{OB}g$ приложена на расстоянии $d_{OB} = \frac{L_{OB}}{2} = \frac{l}{2}$ от точки O.
- Сила тяжести шарика $P_{шар} = mg$ приложена в точке B на расстоянии $d_{шар} = L_{OB} = l$ от точки O.

Момент силы равен произведению модуля силы на ее плечо. Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения (точка O) до линии действия силы. Так как силы тяжести направлены вертикально вниз, плечо для каждой силы равно $d_{\perp} = r \sin\alpha$, где $r$ — расстояние от точки O до точки приложения силы.

Сила $P_{AO}$ создает вращающий момент против часовой стрелки (считаем его положительным), а силы $P_{OB}$ и $P_{шар}$ создают моменты по часовой стрелке (считаем их отрицательными).
$ M_{AO} = P_{AO} \cdot d_{AO} \sin\alpha = (m_{AO} g) \cdot l \sin\alpha $
$ M_{OB} = P_{OB} \cdot d_{OB} \sin\alpha = (m_{OB} g) \cdot \frac{l}{2} \sin\alpha $
$ M_{шар} = P_{шар} \cdot d_{шар} \sin\alpha = (m g) \cdot l \sin\alpha $

Запишем уравнение моментов в соответствии с правилом равновесия:
$ M_{AO} - M_{OB} - M_{шар} = 0 $
$ m_{AO} g l \sin\alpha - m_{OB} g \frac{l}{2} \sin\alpha - m g l \sin\alpha = 0 $

Подставим выражения для масс $m_{AO}$ и $m_{OB}$:
$ \frac{2}{3}m_0 g l \sin\alpha - \frac{1}{3}m_0 g \frac{l}{2} \sin\alpha - m g l \sin\alpha = 0 $

Сократим обе части уравнения на общий множитель $g \cdot l \cdot \sin\alpha$ (это возможно, так как $l \neq 0$ и $\alpha=45^\circ$, следовательно $\sin\alpha \neq 0$):
$ \frac{2}{3}m_0 - \frac{1}{3}m_0 \cdot \frac{1}{2} - m = 0 $
$ \frac{2}{3}m_0 - \frac{1}{6}m_0 - m = 0 $

Выразим искомую массу $m$:
$ m = \frac{2}{3}m_0 - \frac{1}{6}m_0 $
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ m = \frac{4}{6}m_0 - \frac{1}{6}m_0 = \frac{3}{6}m_0 = \frac{1}{2}m_0 $

Теперь вычислим численное значение массы шарика, используя данное значение $m_0$:
$ m = \frac{1}{2} \cdot 78 \text{ г} = 39 \text{ г} $

Ответ: масса шарика равна 39 г.