Номер 636, страница 130 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина линейки $L = 75 \text{ см}$

Отношение массы груза к массе линейки $n = 2,0$

$L = 0,75 \text{ м}$

Найти:

$d$ — расстояние от края стола до середины линейки.

Решение:

Обозначим массу линейки как $m_л$, а массу подвешенного груза как $m_г$. Согласно условию задачи, их массы соотносятся как $m_г = n \cdot m_л$.

Поскольку линейка однородная, ее центр масс находится в ее геометрическом центре, то есть на расстоянии $L/2$ от каждого из концов.

Момент, когда дальний от края стола конец линейки начинает подниматься, соответствует состоянию предельного равновесия. В этом состоянии линейка опирается только на край стола, который выступает в качестве оси вращения. Для сохранения равновесия необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно этой оси была равна нулю. Это означает, что момент силы, вращающий линейку по часовой стрелке, должен быть равен по модулю моменту силы, вращающему ее против часовой стрелки.

Пусть $x$ — это длина части линейки, которая выступает за край стола. К концу этой части подвешен груз, создающий силу тяжести $F_г = m_г g$. Плечо этой силы относительно оси вращения (края стола) равно $x$. Эта сила создает вращающий момент по часовой стрелке:

$M_1 = F_г \cdot x = m_г g x = (n \cdot m_л) g x$

На саму линейку действует ее собственная сила тяжести $F_л = m_л g$, которая приложена к центру масс линейки. Обозначим искомое расстояние от края стола до середины линейки как $d$. Это расстояние является плечом силы $F_л$. Эта сила создает вращающий момент против часовой стрелки:

$M_2 = F_л \cdot d = m_л g d$

Центр масс линейки находится на расстоянии $L/2$ от ее конца. С другой стороны, это расстояние можно выразить через длину выступающей части $x$ и расстояние от края стола до центра масс $d$. Так как центр масс находится на части линейки, лежащей на столе, то:

$d + x = \frac{L}{2}$

Из этого соотношения можно выразить $d$:

$d = \frac{L}{2} - x$

Запишем условие равновесия моментов $M_1 = M_2$:

$(n \cdot m_л) g x = m_л g d$

Сократим одинаковые множители $m_л g$ в обеих частях уравнения:

$n \cdot x = d$

Мы получили систему из двух линейных уравнений для нахождения неизвестных $x$ и $d$:

$\begin{cases} d = \frac{L}{2} - x \\ d = n \cdot x \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы исключить $d$:

$n \cdot x = \frac{L}{2} - x$

Соберем все члены с $x$ в левой части:

$nx + x = \frac{L}{2}$

$x(n+1) = \frac{L}{2}$

Отсюда найдем длину выступающей части линейки $x$:

$x = \frac{L}{2(n+1)}$

Теперь, зная $x$, найдем искомое расстояние $d$ из соотношения $d = n \cdot x$:

$d = n \cdot \frac{L}{2(n+1)} = \frac{nL}{2(n+1)}$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия задачи:

$d = \frac{2,0 \cdot 75 \text{ см}}{2(2,0+1)} = \frac{150 \text{ см}}{2 \cdot 3} = \frac{150 \text{ см}}{6} = 25 \text{ см}$

Ответ: середина линейки находится на расстоянии 25 см от края стола.