Номер 632, страница 129 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$F_1 = 1,5$ Н

$F_2 = 9,0$ Н

$l_1 = 80$ см

$m = 1,0$ кг

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 80 \text{ см} = 0,80 \text{ м}$

Найти:

$l_2$

Решение:

Стержень находится в состоянии равновесия. Согласно правилу моментов, алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на стержень относительно точки опоры O, равна нулю. Примем направление вращения против часовой стрелки за положительное.

Условие равновесия: $ \sum M = 0 $.

На стержень действуют три силы, создающие вращающий момент относительно точки O:

1. Сила $ \vec{F}_1 $. Она вращает стержень против часовой стрелки, поэтому ее момент $ M_1 $ положителен.
$ M_1 = F_1 \cdot l_1 $

2. Сила $ \vec{F}_2 $. Она вращает стержень по часовой стрелке, поэтому ее момент $ M_2 $ отрицателен.
$ M_2 = -F_2 \cdot l_2 $

3. Сила тяжести $ \vec{F}_g = m\vec{g} $, приложенная к центру масс стержня. Поскольку стержень однородный, его центр масс находится посередине. Полная длина стержня $ L = l_1 + l_2 $. Плечо силы тяжести относительно точки O равно $ l_g = |\frac{L}{2} - l_1| = |\frac{l_1+l_2}{2} - l_1| = |\frac{l_2 - l_1}{2}| $. Момент силы тяжести $ M_g $ будет положительным (против часовой стрелки), если центр масс находится слева от опоры ($ l_1 > l_2 $), и отрицательным (по часовой стрелке), если центр масс справа ($ l_2 > l_1 $). Это можно учесть, записав момент силы тяжести как $ M_g = mg \frac{l_1 - l_2}{2} $.

Запишем уравнение моментов для стержня:

$ M_1 + M_2 + M_g = 0 $

$ F_1 l_1 - F_2 l_2 + mg \frac{l_1 - l_2}{2} = 0 $

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с неизвестной величиной $ l_2 $:

$ F_1 l_1 + \frac{mg l_1}{2} = F_2 l_2 + \frac{mg l_2}{2} $

$ l_1 \left( F_1 + \frac{mg}{2} \right) = l_2 \left( F_2 + \frac{mg}{2} \right) $

Выразим отсюда искомое плечо $ l_2 $:

$ l_2 = l_1 \frac{F_1 + \frac{mg}{2}}{F_2 + \frac{mg}{2}} $

Подставим числовые значения в полученную формулу. Примем ускорение свободного падения $ g \approx 10 \text{ Н/кг} $.

$ l_2 = 0,80 \text{ м} \cdot \frac{1,5 \text{ Н} + \frac{1,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг}}{2}}{9,0 \text{ Н} + \frac{1,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг}}{2}} $

$ l_2 = 0,80 \cdot \frac{1,5 + 5,0}{9,0 + 5,0} = 0,80 \cdot \frac{6,5}{14,0} $

$ l_2 = \frac{5,2}{14,0} \approx 0,3714 \text{ м} $

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные заданы с такой точностью.

$ l_2 \approx 0,37 \text{ м} = 37 \text{ см} $

Ответ: плечо силы $ \vec{F}_2 $ относительно точки O равно приблизительно 0,37 м (или 37 см).