Номер 638, страница 130 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Длина стержня $l = 156 \text{ мм}$

Стержень подвешен в средней точке $O$

Плотность стали $\rho_{ст} = 7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Плотность стекла $\rho_{ск} = 2500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Перевод в СИ:

$l = 156 \text{ мм} = 0.156 \text{ м}$

Найти:

$\Delta x$ — расстояние, на которое надо переместить стальной шарик.

Решение:

Изначально стержень находится в равновесии, так как он однородный и подвешен в центре масс, а на его концах находятся одинаковые стальные шарики на равном расстоянии от точки опоры $O$. Расстояние от точки опоры до каждого конца стержня (плечо силы) равно $d_0 = \frac{l}{2}$.

После замены одного стального шарика на стеклянный такого же размера (объема $V$), равновесие нарушается, так как массы шариков становятся разными. Масса стального шарика $m_{ст} = \rho_{ст}V$, а масса стеклянного шарика $m_{ск} = \rho_{ск}V$. Поскольку плотность стали больше плотности стекла ($\rho_{ст} > \rho_{ск}$), то и масса стального шарика больше массы стеклянного ($m_{ст} > m_{ск}$).

Пусть стеклянный шарик находится в точке $B$ на расстоянии $d_B = \frac{l}{2}$ от точки опоры $O$. На него действует сила тяжести $F_{ск} = m_{ск}g = \rho_{ск}Vg$.

Чтобы восстановить равновесие, оставшийся стальной шарик необходимо переместить из точки $A$ ближе к центру опоры $O$ в некоторую точку $A'$. Обозначим новое расстояние от точки $O$ до стального шарика как $x$. На стальной шарик действует сила тяжести $F_{ст} = m_{ст}g = \rho_{ст}Vg$.

Для восстановления равновесия стержня необходимо, чтобы моменты сил, действующих на стержень относительно точки опоры $O$, были равны (правило моментов):

$M_{ст} = M_{ск}$

Момент силы определяется как произведение силы на её плечо. Таким образом:

$F_{ст} \cdot x = F_{ск} \cdot \frac{l}{2}$

Подставим выражения для сил:

$(\rho_{ст}Vg) \cdot x = (\rho_{ск}Vg) \cdot \frac{l}{2}$

Сократим обе части уравнения на $Vg$ (объем и ускорение свободного падения одинаковы):

$\rho_{ст} \cdot x = \rho_{ск} \cdot \frac{l}{2}$

Отсюда найдем новое положение стального шарика $x$:

$x = \frac{\rho_{ск}}{\rho_{ст}} \cdot \frac{l}{2}$

Искомое расстояние, на которое надо переместить стальной шарик, — это разница между его начальным и конечным положением:

$\Delta x = \frac{l}{2} - x$

Подставим найденное выражение для $x$:

$\Delta x = \frac{l}{2} - \frac{\rho_{ск}}{\rho_{ст}} \cdot \frac{l}{2} = \frac{l}{2} \left(1 - \frac{\rho_{ск}}{\rho_{ст}}\right)$

Теперь подставим числовые значения. Начальное плечо $\frac{l}{2} = \frac{156 \text{ мм}}{2} = 78 \text{ мм}$.

$\Delta x = 78 \text{ мм} \cdot \left(1 - \frac{2500}{7800}\right) = 78 \text{ мм} \cdot \left(\frac{7800 - 2500}{7800}\right) = 78 \text{ мм} \cdot \left(\frac{5300}{7800}\right)$

$\Delta x = 78 \text{ мм} \cdot \frac{53}{78} = 53 \text{ мм}$

Ответ: стальной шарик надо переместить на 53 мм.