Номер 649, страница 132 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

$m = 2,0$ кг

$\alpha = 45°$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Найти:

$F_{тр}$ — модуль силы трения для случаев а и б.

Решение:

Стержень находится в равновесии, следовательно, выполнены два условия:

1. Векторная сумма всех сил, действующих на стержень, равна нулю.

2. Сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю.

На стержень действуют: сила тяжести $mg$, приложенная к центру стержня (так как он однородный), сила реакции опоры $N$, сила трения $F_{тр}$ и сила натяжения нити $T$. Обозначим длину стержня как $L$.

а) Рассмотрим случай, представленный на рис. 137, а. Нить $BC$ горизонтальна.

Запишем уравнения равновесия в проекциях на оси координат (ось X — горизонтально, ось Y — вертикально):

На ось Y: $N_a - mg = 0 \implies N_a = mg$.

На ось X: $F_{тр(а)} - T_a = 0 \implies F_{тр(а)} = T_a$.

Для нахождения силы натяжения нити $T_a$ запишем уравнение моментов сил относительно точки A. Моменты сил $N_a$ и $F_{тр(а)}$ равны нулю, так как их линии действия проходят через точку A.

Момент силы тяжести $M_{mg}$ вращает стержень по часовой стрелке (примем это направление за отрицательное):

$M_{mg} = -mg \cdot \frac{L}{2} \cos{\alpha}$

Момент силы натяжения нити $M_{T_a}$ вращает стержень против часовой стрелки (положительное направление):

$M_{T_a} = T_a \cdot (L \sin{\alpha})$

Сумма моментов равна нулю:

$M_{T_a} + M_{mg} = 0$

$T_a L \sin{\alpha} - mg \frac{L}{2} \cos{\alpha} = 0$

Отсюда выразим силу натяжения $T_a$:

$T_a L \sin{\alpha} = mg \frac{L}{2} \cos{\alpha}$

$T_a = \frac{mg}{2} \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} = \frac{mg}{2} \cot{\alpha}$

Так как $F_{тр(а)} = T_a$, то:

$F_{тр(а)} = \frac{mg}{2} \cot{\alpha}$

Подставим числовые значения:

$F_{тр(а)} = \frac{2,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{2} \cdot \cot{45°} = 10 \text{ Н} \cdot 1 = 10 \text{ Н}$

Ответ: для случая а модуль силы трения равен 10 Н.

б) Рассмотрим случай, представленный на рис. 137, б. Нить $BC$ составляет угол $\alpha$ с вертикалью.

Разложим силу натяжения нити $T_b$ на горизонтальную и вертикальную составляющие. Угол, который нить составляет с горизонталью, равен $90° - \alpha$.

$T_{bx} = T_b \cos(90° - \alpha) = T_b \sin{\alpha}$ (направлена влево)

$T_{by} = T_b \sin(90° - \alpha) = T_b \cos{\alpha}$ (направлена вверх)

Запишем уравнения равновесия в проекциях на оси:

На ось Y: $N_b + T_{by} - mg = 0 \implies N_b + T_b \cos{\alpha} = mg$

На ось X: $F_{тр(б)} - T_{bx} = 0 \implies F_{тр(б)} = T_b \sin{\alpha}$

Запишем уравнение моментов сил относительно точки A:

Момент силы тяжести: $M_{mg} = -mg \cdot \frac{L}{2} \cos{\alpha}$

Момент силы натяжения нити $T_b$ можно найти как сумму моментов её составляющих. Обе составляющие создают момент против часовой стрелки.

$M_{T_b} = T_{bx} \cdot (L \sin{\alpha}) + T_{by} \cdot (L \cos{\alpha}) = (T_b \sin{\alpha}) (L \sin{\alpha}) + (T_b \cos{\alpha}) (L \cos{\alpha})$

$M_{T_b} = T_b L (\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}) = T_b L$

Сумма моментов равна нулю:

$T_b L - mg \frac{L}{2} \cos{\alpha} = 0$

Отсюда выразим $T_b$:

$T_b = \frac{mg}{2} \cos{\alpha}$

Теперь найдем силу трения:

$F_{тр(б)} = T_b \sin{\alpha} = \left(\frac{mg}{2} \cos{\alpha}\right) \sin{\alpha} = \frac{mg}{2} \sin{\alpha}\cos{\alpha}$

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$, получаем:

$F_{тр(б)} = \frac{mg}{4} \sin(2\alpha)$

Подставим числовые значения:

$F_{тр(б)} = \frac{2,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{4} \cdot \sin(2 \cdot 45°) = 5 \text{ Н} \cdot \sin(90°) = 5 \text{ Н} \cdot 1 = 5 \text{ Н}$

Ответ: для случая б модуль силы трения равен 5 Н.