Номер 716, страница 143 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Для решения этой задачи рассмотрим два состояния системы: до таяния льда и после.

Дано:
m_л - масса льда
m_к - масса камешка
ρ_в - плотность воды
ρ_л - плотность льда
ρ_к - плотность камешка
Поскольку камешек вмерз в лед, и вся система плавает, а сам по себе камешек тонет, мы можем утверждать, что $ρ_к > ρ_в$. Также известно, что плотность льда меньше плотности воды: $ρ_л < ρ_в$.

Найти:
Изменится ли уровень воды в сосуде, и если да, то как.

Решение:
1. Начальное состояние: лед с камешком плавает в воде.

Пока система плавает, на нее действует выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, которая уравновешивает суммарный вес льда и камешка.

Суммарный вес системы: $P = (m_л + m_к)g$, где $g$ - ускорение свободного падения.

Сила Архимеда равна весу вытесненной воды: $F_A = ρ_в \cdot V_{погр.1} \cdot g$, где $V_{погр.1}$ - объем погруженной части системы (то есть объем вытесненной воды).

Из условия плавания $F_A = P$:
$ρ_в \cdot V_{погр.1} \cdot g = (m_л + m_к)g$

Отсюда объем вытесненной воды в начальном состоянии равен:$V_{погр.1} = \frac{m_л + m_к}{ρ_в} = \frac{m_л}{ρ_в} + \frac{m_к}{ρ_в}$

2. Конечное состояние: лед растаял.

Когда лед массой $m_л$ растает, он превратится в воду массой $m_л$. Объем этой воды будет:$V_в = \frac{m_л}{ρ_в}$

Камешек, который больше не поддерживается льдом, утонет и ляжет на дно сосуда. При этом он вытеснит объем воды, равный его собственному объему. Объем камешка:$V_к = \frac{m_к}{ρ_к}$

Таким образом, после таяния льда общий объем, который занимают в воде компоненты исходной системы (вода от растаявшего льда и сам камешек), будет равен:$V_{конечный} = V_в + V_к = \frac{m_л}{ρ_в} + \frac{m_к}{ρ_к}$

3. Сравнение объемов и вывод.

Сравним объем вытесненной воды в начальном состоянии ($V_{погр.1}$) с объемом, занимаемым системой в конечном состоянии ($V_{конечный}$). Уровень воды изменится, если эти объемы не равны.

Начальный вытесненный объем: $V_{погр.1} = \frac{m_л}{ρ_в} + \frac{m_к}{ρ_в}$

Конечный объем: $V_{конечный} = \frac{m_л}{ρ_в} + \frac{m_к}{ρ_к}$

Разница между этими объемами определяется вторыми слагаемыми: $\frac{m_к}{ρ_в}$ и $\frac{m_к}{ρ_к}$.

Так как камешек тонет в воде, его плотность больше плотности воды: $ρ_к > ρ_в$.

Из этого неравенства следует, что при одинаковой массе $m_к$:$\frac{1}{ρ_к} < \frac{1}{ρ_в}$, а значит $\frac{m_к}{ρ_к} < \frac{m_к}{ρ_в}$.

Следовательно, $V_{конечный} < V_{погр.1}$.

Это означает, что объем, занимаемый в воде растаявшим льдом и утонувшим камнем, меньше, чем объем воды, который вытесняла система, когда плавала. Поэтому уровень воды в сосуде понизится.

Ответ: уровень воды в сосуде понизится.