Номер 804, страница 157 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса девочки, $m = 20$ кг

Скорость девочки, $v = 2,0$ м/с

а) Поворот на половину окружности ($1/2$ оборота)

б) Поворот на шестую часть окружности ($1/6$ оборота)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Модуль изменения импульса девочки $|\Delta \vec{p}|$ для случаев а) и б).

Решение:

Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$.

Изменение импульса определяется как векторная разность конечного ($\vec{p}_f$) и начального ($\vec{p}_i$) импульсов: $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$.

При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью $v$, модуль импульса также остается постоянным: $p = |\vec{p}_i| = |\vec{p}_f| = mv$. Однако направление вектора импульса непрерывно меняется, так как меняется направление вектора скорости.

Модуль изменения импульса можно найти, рассмотрев треугольник, образованный векторами $\vec{p}_i$, $\vec{p}_f$ и $\Delta \vec{p}$. Если совместить начала векторов $\vec{p}_i$ и $\vec{p}_f$, то угол между ними $\alpha$ будет равен углу поворота карусели. По правилу вычитания векторов, модуль разности $|\Delta \vec{p}|$ можно найти по теореме косинусов:

$|\Delta \vec{p}|^2 = p_i^2 + p_f^2 - 2 p_i p_f \cos\alpha$

Так как $p_i = p_f = mv$, то:

$|\Delta \vec{p}|^2 = (mv)^2 + (mv)^2 - 2(mv)^2\cos\alpha = 2(mv)^2(1 - \cos\alpha)$

Используя тригонометрическое тождество $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем удобную формулу:

$|\Delta \vec{p}| = \sqrt{4(mv)^2\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = 2mv\sin(\frac{\alpha}{2})$

Рассчитаем модуль импульса девочки:

$p = mv = 20 \text{ кг} \cdot 2,0 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 40 \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$

а) половину окружности

При повороте на половину окружности угол поворота составляет $\alpha = 180^\circ$ ($\pi$ радиан). В этом случае конечный вектор скорости $\vec{v}_f$ направлен в сторону, противоположную начальному вектору скорости $\vec{v}_i$, то есть $\vec{v}_f = -\vec{v}_i$.

Тогда изменение импульса: $\Delta \vec{p}_a = m\vec{v}_f - m\vec{v}_i = m(-\vec{v}_i) - m\vec{v}_i = -2m\vec{v}_i = -2\vec{p}_i$.

Модуль изменения импульса равен: $|\Delta \vec{p}_a| = |-2\vec{p}_i| = 2|\vec{p}_i| = 2mv$.

Подставим числовые значения:

$|\Delta \vec{p}_a| = 2 \cdot 40 \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}} = 80 \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $80 \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$.

б) шестую часть окружности

При повороте на шестую часть окружности угол поворота составляет $\alpha = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.

Воспользуемся общей формулой $|\Delta \vec{p}| = 2mv\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Угол $\frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Значение синуса этого угла: $\sin(30^\circ) = 0,5$.

Тогда модуль изменения импульса:

$|\Delta \vec{p}_b| = 2mv\sin(30^\circ) = 2mv \cdot 0,5 = mv$.

Подставим числовые значения:

$|\Delta \vec{p}_b| = 40 \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: $40 \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}$.