Номер 808, страница 158 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Масса теннисного шарика, $m = 2,5 \text{ г}$

Начальная скорость шарика, $v_0 = 16 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Угол отскока относительно прежнего направления, $\alpha = 60^\circ$

Удар упругий.

Перевод в систему СИ:

$m = 2,5 \times 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:

Модуль изменения импульса шарика, $|\Delta \vec{p}|$.

Решение:

Изменение импульса шарика $\Delta \vec{p}$ определяется как векторная разность его конечного импульса $\vec{p_f}$ и начального импульса $\vec{p_0}$:

$\Delta \vec{p} = \vec{p_f} - \vec{p_0}$

Импульс тела является векторной величиной, равной произведению массы тела на его скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$.

Начальный импульс шарика до удара: $\vec{p_0} = m\vec{v_0}$.

Конечный импульс шарика после удара: $\vec{p_f} = m\vec{v_f}$.

В условии сказано, что удар упругий. При упругом ударе о неподвижное массивное тело (ракетку) кинетическая энергия шарика сохраняется. Это значит, что модуль скорости шарика после удара равен модулю его скорости до удара:

$|\vec{v_f}| = |\vec{v_0}| = v_0 = 16 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Следовательно, модули начального и конечного импульсов шарика также равны:

$p_f = |\vec{p_f}| = m v_0$

$p_0 = |\vec{p_0}| = m v_0$

Для нахождения модуля вектора разности $|\Delta \vec{p}| = |\vec{p_f} - \vec{p_0}|$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного векторами $\vec{p_0}$ и $\vec{p_f}$. Угол между этими векторами равен $\alpha$.

$|\Delta \vec{p}|^2 = p_0^2 + p_f^2 - 2 p_0 p_f \cos\alpha$

Так как $p_0 = p_f$, подставим это в уравнение:

$|\Delta \vec{p}|^2 = p_0^2 + p_0^2 - 2 p_0^2 \cos\alpha = 2p_0^2 (1 - \cos\alpha)$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем формулу для модуля изменения импульса:

$|\Delta \vec{p}| = \sqrt{2p_0^2 (1 - \cos\alpha)} = p_0 \sqrt{2(1 - \cos\alpha)}$

Подставим $p_0 = m v_0$:

$|\Delta \vec{p}| = m v_0 \sqrt{2(1 - \cos\alpha)}$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения:

$m = 2,5 \times 10^{-3} \text{ кг}$

$v_0 = 16 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$\alpha = 60^\circ$, следовательно, $\cos(60^\circ) = 0,5$

$|\Delta \vec{p}| = (2,5 \times 10^{-3} \text{ кг}) \cdot (16 \frac{\text{м}}{\text{с}}) \cdot \sqrt{2(1 - 0,5)}$

$|\Delta \vec{p}| = (40 \times 10^{-3}) \cdot \sqrt{2 \cdot 0,5} \text{ кг}\cdot\frac{\text{м}}{\text{с}}$

$|\Delta \vec{p}| = (40 \times 10^{-3}) \cdot \sqrt{1} \text{ кг}\cdot\frac{\text{м}}{\text{с}}$

$|\Delta \vec{p}| = 40 \times 10^{-3} \text{ кг}\cdot\frac{\text{м}}{\text{с}} = 0,04 \text{ кг}\cdot\frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: Модуль изменения импульса шарика при ударе равен $0,04 \text{ кг}\cdot\frac{\text{м}}{\text{с}}$.