Номер 4, страница 46 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

4. Как, зная проекции $v_x$ и $a_x$, определить, ускоренно или замедленно движется тело?

Решение

Чтобы определить, является ли движение тела ускоренным или замедленным, зная проекции его скорости $v_x$ и ускорения $a_x$ на одну и ту же координатную ось, необходимо сравнить знаки этих проекций. Характер движения зависит от взаимного направления векторов скорости $\vec{v}$ и ускорения $\vec{a}$.

1. Ускоренное движение. Тело движется ускоренно, если модуль его скорости со временем увеличивается. Это происходит, когда вектор ускорения $\vec{a}$ сонаправлен с вектором скорости $\vec{v}$ (или имеет составляющую, сонаправленную с $\vec{v}$). В проекциях на ось это условие выполняется, когда знаки $v_x$ и $a_x$ совпадают.
- Если $v_x > 0$ и $a_x > 0$, тело движется в положительном направлении оси и его скорость растет.
- Если $v_x < 0$ и $a_x < 0$, тело движется в отрицательном направлении оси, и модуль его скорости также растет (например, скорость меняется от $-2$ м/с до $-5$ м/с).
Математически это условие можно записать как произведение проекций: $v_x \cdot a_x > 0$.

2. Замедленное движение. Тело движется замедленно, если модуль его скорости со временем уменьшается. Это происходит, когда вектор ускорения $\vec{a}$ направлен в сторону, противоположную вектору скорости $\vec{v}$ (или имеет составляющую, направленную против $\vec{v}$). В проекциях на ось это условие выполняется, когда знаки $v_x$ и $a_x$ различны.
- Если $v_x > 0$ и $a_x < 0$, тело движется в положительном направлении, но тормозит.
- Если $v_x < 0$ и $a_x > 0$, тело движется в отрицательном направлении и тормозит.
Математически это условие можно записать так: $v_x \cdot a_x < 0$.

Если $a_x = 0$, то движение является равномерным (скорость постоянна).

Ответ: Если проекции скорости $v_x$ и ускорения $a_x$ имеют одинаковые знаки (их произведение $v_x \cdot a_x > 0$), то движение является ускоренным. Если проекции $v_x$ и $a_x$ имеют разные знаки (их произведение $v_x \cdot a_x < 0$), то движение является замедленным.

5.

Решение

Модуль вектора и его проекция на ось — это разные характеристики. Модуль вектора (например, скорости $|\vec{v}|$ или ускорения $|\vec{a}|$) — это скалярная, всегда неотрицательная величина, равная длине вектора.

Проекция вектора на ось (например, $v_x$ или $a_x$) — это скалярная величина, которая может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Она определяется по формуле: $v_x = |\vec{v}| \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между направлением вектора $\vec{v}$ и положительным направлением оси, на которую он проецируется.

Чтобы проекция вектора была равна его модулю, должно выполняться равенство: $v_x = |\vec{v}|$

Подставив в это равенство формулу для проекции, получим: $|\vec{v}| \cos\alpha = |\vec{v}|$

Если модуль вектора не равен нулю ($|\vec{v}| \neq 0$), можно сократить обе части уравнения на $|\vec{v}|$, что дает: $\cos\alpha = 1$

Это тригонометрическое уравнение имеет решение $\alpha = 0^\circ$ (или $2\pi n$ для целых $n$). Угол, равный нулю, между вектором и осью означает, что вектор направлен в ту же сторону, что и положительное направление оси (то есть вектор сонаправлен с осью).

Данное рассуждение справедливо для любого вектора, в том числе для векторов скорости $\vec{v}$ и ускорения $\vec{a}$.

Ответ: Проекции векторов $\vec{v}$ и $\vec{a}$ на некоторую ось равны модулям этих векторов в том и только в том случае, когда данные векторы направлены в ту же сторону, что и положительное направление этой оси (сонаправлены с осью).