Номер 1, страница 46 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

Докажите, что площадь фигуры, ограниченной графиком проекции ускорения $a_x$ и осью времени $t$ (см. рис. 76, $a$), взятая со знаком «+» при $a_x > 0$ и со знаком «–» при $a_x < 0$, численно равна изменению проекции скорости $\Delta v_x$ за время от $0$ до $t$.

Решение

По определению, проекция мгновенного ускорения $a_x$ на ось $Ox$ есть первая производная от проекции скорости $v_x$ по времени $t$:

$a_x(t) = \frac{dv_x}{dt}$

Это соотношение можно записать в виде для бесконечно малого приращения скорости $dv_x$ за бесконечно малый промежуток времени $dt$:

$dv_x = a_x(t) dt$

Чтобы найти полное изменение проекции скорости, $Δv_x = v_x(t) - v_x(0)$, за конечный промежуток времени от $0$ до $t$, необходимо просуммировать (проинтегрировать) все эти малые изменения на данном интервале:

$Δv_x = \int_{v_x(0)}^{v_x(t)} dv_x = \int_{0}^{t} a_x(t) dt$

Согласно фундаментальной теореме анализа, определенный интеграл $\int_{a}^{b} f(x)dx$ имеет ясный геометрический смысл: он численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс (в нашем случае осью времени $t$), и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ (в нашем случае $t=0$ и $t=t$).

Важно отметить, что эта площадь является "знаковой". Если график функции расположен выше оси абсцисс (в нашем случае $a_x > 0$), площадь вносит положительный вклад в интеграл (берется со знаком «+»). Если график расположен ниже оси ($a_x < 0$), то площадь вносит отрицательный вклад (берется со знаком «−»).

Таким образом, выражение $Δv_x = \int_{0}^{t} a_x(t) dt$ напрямую связывает физическую величину (изменение проекции скорости) с геометрической величиной (площадью под графиком проекции ускорения). Площадь фигуры, ограниченной графиком $a_x(t)$ и осью времени $t$, взятая со знаком «+» при $a_x > 0$ и со знаком «−» при $a_x < 0$, в точности численно равна изменению проекции скорости $Δv_x$ за время от 0 до $t$.

В частном случае равноускоренного движения (вероятно, изображенного на рис. 76, а), когда $a_x$ является константой, график $a_x(t)$ — это горизонтальная прямая. Фигура под ним — прямоугольник с высотой $a_x$ и шириной $t$. Его площадь $S = a_x \cdot t$. В то же время, из формулы для равноускоренного движения $v_x(t) = v_x(0) + a_x t$, следует, что $Δv_x = v_x(t) - v_x(0) = a_x t$. Как мы видим, и в этом простом случае $Δv_x = S$, что подтверждает общий вывод.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на определении ускорения как производной скорости по времени ($a_x = dv_x/dt$). Интегрируя это соотношение по времени от 0 до $t$, получаем, что изменение проекции скорости $Δv_x$ равно определенному интегралу от проекции ускорения: $Δv_x = \int_{0}^{t} a_x(t) dt$. Геометрический смысл этого интеграла — это и есть площадь фигуры, ограниченной графиком $a_x(t)$ и осью времени, где площади над осью ($a_x > 0$) берутся со знаком «+», а под осью ($a_x < 0$) — со знаком «−». Следовательно, утверждение верно.