Номер 7, страница 177 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

7. К нижнему концу легкой недеформированной пружины прикрепили груз массой $m = 500 \text{ г}$ и отпустили. Жесткость пружины $k = 40 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$. Определите модуль максимальной скорости движения груза. Сопротивлением движению груза пренебречь.

Дано:

$m = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$
$k = 40 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Найти:

$v_{max}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Система состоит из груза и пружины. Так как сопротивлением пренебрегаем, полная механическая энергия системы сохраняется.

Выберем три ключевых состояния системы:

1. Начальное состояние: груз прикреплен к недеформированной пружине и находится в покое. Примем этот уровень за нулевой для отсчета потенциальной энергии силы тяжести ($h_1 = 0$). Так как пружина не деформирована ($x_1=0$) и груз неподвижен ($v_1=0$), полная механическая энергия системы в этом состоянии равна нулю.
$E_1 = E_{k1} + E_{p,g1} + E_{p,s1} = \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 + \frac{kx_1^2}{2} = 0 + 0 + 0 = 0$.

2. Состояние равновесия: груз движется вниз и проходит положение, в котором сила тяжести уравновешивается силой упругости пружины. В этом положении ускорение груза равно нулю, а его скорость максимальна. Обозначим растяжение пружины в этом положении $x_{eq}$.
Из условия равновесия сил: $F_{тяж} = F_{упр}$, откуда $mg = kx_{eq}$.
Следовательно, растяжение пружины в положении равновесия: $x_{eq} = \frac{mg}{k}$.

3. Состояние в положении равновесия (максимальной скорости): груз находится на расстоянии $x_{eq}$ ниже начального положения, поэтому его высота $h_2 = -x_{eq}$. Скорость груза максимальна и равна $v_{max}$, а растяжение пружины $x_2 = x_{eq}$.
Полная механическая энергия системы в этом состоянии:
$E_2 = E_{k2} + E_{p,g2} + E_{p,s2} = \frac{mv_{max}^2}{2} + mgh_2 + \frac{kx_2^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2} - mgx_{eq} + \frac{kx_{eq}^2}{2}$.

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:
$0 = \frac{mv_{max}^2}{2} - mgx_{eq} + \frac{kx_{eq}^2}{2}$.

Выразим отсюда квадрат максимальной скорости:
$\frac{mv_{max}^2}{2} = mgx_{eq} - \frac{kx_{eq}^2}{2}$.

Подставим выражение для $x_{eq} = \frac{mg}{k}$:
$\frac{mv_{max}^2}{2} = mg\left(\frac{mg}{k}\right) - \frac{k}{2}\left(\frac{mg}{k}\right)^2 = \frac{m^2g^2}{k} - \frac{k m^2g^2}{2k^2} = \frac{m^2g^2}{k} - \frac{m^2g^2}{2k} = \frac{m^2g^2}{2k}$.

Сократим обе части уравнения на $\frac{m}{2}$:
$v_{max}^2 = \frac{mg^2}{k}$.

Отсюда находим максимальную скорость:
$v_{max} = \sqrt{\frac{mg^2}{k}} = g\sqrt{\frac{m}{k}}$.

Подставим числовые значения:
$v_{max} = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \times \sqrt{\frac{0.5 \text{ кг}}{40 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}} = 10 \times \sqrt{0.0125} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 10 \times \sqrt{\frac{1}{80}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$.
$v_{max} = 10 \times \frac{1}{\sqrt{16 \cdot 5}} = 10 \times \frac{1}{4\sqrt{5}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{2} \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Вычислим приближенное значение: $\sqrt{5} \approx 2.236$.
$v_{max} \approx \frac{2.236}{2} \approx 1.118 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Ответ: модуль максимальной скорости движения груза равен $v_{max} = \frac{\sqrt{5}}{2} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1.12 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.