Номер 9, страница 177 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

9. Шары массами $m_1 = 6,0$ кг, $m_2 = 2,0$ кг двигались по одной прямой навстречу друг другу со скоростями, модули которых: $v_1 = 4,0 \frac{\text{М}}{\text{с}}$, $v_2 = 3,0 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. В результате соударения скорость второго шара изменила свое направление на противоположное, а ее модуль остался прежним. Определите направление и модуль скорости первого шара после удара. Найдите изменение внутренней энергии системы, произошедшее в результате удара. Определите среднюю силу удара, считая, что его длительность $\Delta t = 0,02$ с.

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = 6,0$ кг
Масса второго шара: $m_2 = 2,0$ кг
Начальный модуль скорости первого шара: $v_1 = 4,0$ м/с
Начальный модуль скорости второго шара: $v_2 = 3,0$ м/с
Длительность удара: $\Delta t = 0,02$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_1'$ — скорость первого шара после удара;
$\Delta U$ — изменение внутренней энергии системы;
$F_{ср}$ — средняя сила удара.

Решение:

Рассмотрим систему из двух шаров. Поскольку время соударения очень мало, внешними силами можно пренебречь и считать систему замкнутой. Следовательно, для системы выполняется закон сохранения импульса. Направим ось абсцисс (Ox) в сторону начального движения первого шара.

Направление и модуль скорости первого шара после удара

Запишем закон сохранения импульса для системы шаров в проекции на ось Ox. Начальный импульс системы: $p_{нач} = m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x}$. Проекции скоростей до удара: $v_{1x} = v_1 = 4,0$ м/с, $v_{2x} = -v_2 = -3,0$ м/с (так как шары движутся навстречу друг другу). $p_{нач} = m_1 v_1 - m_2 v_2$.

После соударения скорость второго шара изменила направление на противоположное, а ее модуль остался прежним. Проекция конечной скорости второго шара на ось Ox: $v_{2x}' = v_2 = 3,0$ м/с. Обозначим проекцию конечной скорости первого шара как $v_{1x}'$. Конечный импульс системы: $p_{кон} = m_1 v_{1x}' + m_2 v_{2x}' = m_1 v_{1x}' + m_2 v_2$.

Приравниваем начальный и конечный импульсы ($p_{нач} = p_{кон}$): $m_1 v_1 - m_2 v_2 = m_1 v_{1x}' + m_2 v_2$

Выразим из этого уравнения $v_{1x}'$: $m_1 v_{1x}' = m_1 v_1 - 2 m_2 v_2$ $v_{1x}' = \frac{m_1 v_1 - 2 m_2 v_2}{m_1}$

Подставим числовые значения: $v_{1x}' = \frac{6,0 \, \text{кг} \cdot 4,0 \, \text{м/с} - 2 \cdot 2,0 \, \text{кг} \cdot 3,0 \, \text{м/с}}{6,0 \, \text{кг}} = \frac{24,0 - 12,0}{6,0} = \frac{12,0}{6,0} = 2,0$ м/с.

Поскольку проекция $v_{1x}'$ положительна, вектор скорости первого шара после удара сонаправлен с осью Ox, то есть шар продолжает двигаться в первоначальном направлении. Модуль его скорости равен $2,0$ м/с.

Ответ: скорость первого шара после удара направлена в ту же сторону, что и до удара, ее модуль равен $2,0$ м/с.

Изменение внутренней энергии системы

Удар является неупругим, так как кинетическая энергия системы не сохраняется. Изменение внутренней энергии системы $\Delta U$ равно потерянной механической (кинетической) энергии: $\Delta U = E_{k, нач} - E_{k, кон}$

Начальная кинетическая энергия системы: $E_{k, нач} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$ $E_{k, нач} = \frac{6,0 \cdot (4,0)^2}{2} + \frac{2,0 \cdot (3,0)^2}{2} = \frac{6,0 \cdot 16,0}{2} + \frac{2,0 \cdot 9,0}{2} = 48,0 + 9,0 = 57,0$ Дж.

Конечная кинетическая энергия системы: $E_{k, кон} = \frac{m_1 (v_1')^2}{2} + \frac{m_2 (v_2')^2}{2}$ Используем найденную скорость $v_1' = 2,0$ м/с и данную скорость $v_2' = v_2 = 3,0$ м/с. $E_{k, кон} = \frac{6,0 \cdot (2,0)^2}{2} + \frac{2,0 \cdot (3,0)^2}{2} = \frac{6,0 \cdot 4,0}{2} + \frac{2,0 \cdot 9,0}{2} = 12,0 + 9,0 = 21,0$ Дж.

Изменение внутренней энергии: $\Delta U = 57,0 \, \text{Дж} - 21,0 \, \text{Дж} = 36,0$ Дж.

Ответ: изменение внутренней энергии системы равно $36,0$ Дж.

Средняя сила удара

Среднюю силу удара $F_{ср}$ найдем из второго закона Ньютона в импульсной форме. Импульс силы равен изменению импульса тела: $F_{ср} \Delta t = \Delta p$. Рассчитаем изменение импульса для второго шара. $\Delta p_2 = p_{2, кон} - p_{2, нач}$

В проекциях на ось Ox: $\Delta p_{2x} = m_2 v_{2x}' - m_2 v_{2x} = m_2(v_2) - m_2(-v_2) = 2 m_2 v_2$

Подставим значения: $\Delta p_2 = 2 \cdot 2,0 \, \text{кг} \cdot 3,0 \, \text{м/с} = 12,0$ кг·м/с.

Теперь найдем модуль средней силы удара. По третьему закону Ньютона, силы, с которыми шары действуют друг на друга во время удара, равны по модулю. $F_{ср} = \frac{|\Delta p_2|}{\Delta t}$ $F_{ср} = \frac{12,0 \, \text{кг·м/с}}{0,02 \, \text{с}} = 600$ Н.

Ответ: средняя сила удара равна $600$ Н.