Номер 5, страница 53 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

5. Подъемный кран поднимает груз из состояния покоя с постоянным ускорением $a = 0,1 \frac{\text{M}}{\text{c}^2}$. Как относятся пути, проходимые грузом за 1, 2, 3 и 4-ю секунды движения? Подтвердите ответ графиком зависимости модуля скорости движения груза от времени.

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (из состояния покоя)

Ускорение: $a = 0,1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Отношение путей, проходимых грузом за 1-ю, 2-ю, 3-ю и 4-ю секунды движения: $S_1 : S_2 : S_3 : S_4$.

Решение:

Движение груза является равноускоренным. Поскольку движение начинается из состояния покоя ($v_0 = 0$), путь, пройденный за общее время $t$, вычисляется по формуле:

$S(t) = \frac{at^2}{2}$

Путь $S_n$, пройденный за конкретную $n$-ю секунду, равен разности путей, пройденных за $n$ секунд и за $(n-1)$ секунд:

$S_n = S(t=n) - S(t=n-1)$

1. Вычислим путь за 1-ю секунду ($S_1$):

$S_1 = S(t=1) - S(t=0) = \frac{a \cdot 1^2}{2} - 0 = \frac{a}{2}$

2. Вычислим путь за 2-ю секунду ($S_2$):

$S_2 = S(t=2) - S(t=1) = \frac{a \cdot 2^2}{2} - \frac{a \cdot 1^2}{2} = \frac{4a}{2} - \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}$

3. Вычислим путь за 3-ю секунду ($S_3$):

$S_3 = S(t=3) - S(t=2) = \frac{a \cdot 3^2}{2} - \frac{a \cdot 2^2}{2} = \frac{9a}{2} - \frac{4a}{2} = \frac{5a}{2}$

4. Вычислим путь за 4-ю секунду ($S_4$):

$S_4 = S(t=4) - S(t=3) = \frac{a \cdot 4^2}{2} - \frac{a \cdot 3^2}{2} = \frac{16a}{2} - \frac{9a}{2} = \frac{7a}{2}$

Теперь найдем отношение этих путей:

$S_1 : S_2 : S_3 : S_4 = \frac{a}{2} : \frac{3a}{2} : \frac{5a}{2} : \frac{7a}{2}$

Сократив общий множитель $\frac{a}{2}$, получаем отношение:

$1 : 3 : 5 : 7$

Подтверждение с помощью графика скорости

Зависимость модуля скорости от времени при равноускоренном движении из состояния покоя описывается формулой $v(t) = at$. График этой зависимости — прямая линия, проходящая через начало координат.

Путь, пройденный за определенный интервал времени, численно равен площади фигуры под графиком скорости $v(t)$ за этот интервал.

• Путь за 1-ю секунду ($t \in [0, 1]$) равен площади треугольника с основанием 1 и высотой $v(1) = a \cdot 1 = a$.

  $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot v(1) = \frac{a}{2}$

• Путь за 2-ю секунду ($t \in [1, 2]$) равен площади трапеции с основаниями $v(1)=a$ и $v(2)=2a$ и высотой 1.

  $S_2 = \frac{v(1) + v(2)}{2} \cdot 1 = \frac{a + 2a}{2} = \frac{3a}{2}$

• Путь за 3-ю секунду ($t \in [2, 3]$) равен площади трапеции с основаниями $v(2)=2a$ и $v(3)=3a$ и высотой 1.

  $S_3 = \frac{v(2) + v(3)}{2} \cdot 1 = \frac{2a + 3a}{2} = \frac{5a}{2}$

• Путь за 4-ю секунду ($t \in [3, 4]$) равен площади трапеции с основаниями $v(3)=3a$ и $v(4)=4a$ и высотой 1.

  $S_4 = \frac{v(3) + v(4)}{2} \cdot 1 = \frac{3a + 4a}{2} = \frac{7a}{2}$

Отношение площадей (путей) снова дает $S_1 : S_2 : S_3 : S_4 = \frac{a}{2} : \frac{3a}{2} : \frac{5a}{2} : \frac{7a}{2}$, что равно $1 : 3 : 5 : 7$. Таким образом, графический метод подтверждает результат.

Ответ:

Отношение путей, проходимых грузом за 1-ю, 2-ю, 3-ю и 4-ю секунды движения, равно $1 : 3 : 5 : 7$.