Номер 3, страница 53 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

3. Проекция скорости шарика, движущегося по прямолинейному желобу, зависит от времени по закону $v_x = A + Bt$, где $A = 20 \frac{\text{см}}{\text{с}}$, $B = 2,0 \frac{\text{см}}{\text{с}^2}$. Определите проекцию начальной скорости и проекцию ускорения шарика. Найдите зависимость проекции перемещения $\Delta r_x$ шарика от времени. Найдите значения $v_x$ и $\Delta r_x$ в момент времени $t = 6,0 \text{ с}$. Постройте графики проекций скорости и перемещения шарика.

Дано:

Закон изменения проекции скорости: $v_x(t) = A + Bt$

$A = 20 \frac{см}{с} = 0,20 \frac{м}{с}$

$B = 2,0 \frac{см}{с^2} = 0,020 \frac{м}{с^2}$

$t = 6,0 \text{ с}$

Найти:

$v_{0x}$ - ?

$a_x$ - ?

$Δr_x(t)$ - ?

$v_x(t=6,0 \text{ с})$ - ?

$Δr_x(t=6,0 \text{ с})$ - ?

Графики $v_x(t)$ и $Δr_x(t)$ - ?

Решение:

Определите проекцию начальной скорости и проекцию ускорения шарика.

Движение шарика является прямолинейным равноускоренным. Общее уравнение зависимости проекции скорости от времени для такого движения имеет вид: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$, где $v_{0x}$ — проекция начальной скорости, а $a_x$ — проекция ускорения.

Сравнивая это уравнение с заданным в условии уравнением $v_x(t) = A + Bt$, мы можем сопоставить коэффициенты:

Проекция начальной скорости $v_{0x}$ соответствует коэффициенту $A$.
$v_{0x} = A = 20 \frac{см}{с} = 0,20 \frac{м}{с}$.

Проекция ускорения $a_x$ соответствует коэффициенту $B$.
$a_x = B = 2,0 \frac{см}{с^2} = 0,020 \frac{м}{с^2}$.

Ответ: Проекция начальной скорости $v_{0x} = 20 \frac{см}{с}$ ($0,20 \frac{м}{с}$). Проекция ускорения $a_x = 2,0 \frac{см}{с^2}$ ($0,020 \frac{м}{с^2}$).

Найдите зависимость проекции перемещения Δr_x шарика от времени.

Проекция перемещения при прямолинейном равноускоренном движении находится по формуле: $Δr_x(t) = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.

Подставим найденные значения $v_{0x} = A$ и $a_x = B$ в эту формулу:

$Δr_x(t) = At + \frac{Bt^2}{2}$.

Теперь подставим числовые значения коэффициентов $A$ и $B$ (для удобства сначала в сантиметрах, затем в СИ):

$Δr_x(t) = 20t + \frac{2,0t^2}{2} = 20t + t^2$ (перемещение в см, время в с).

В системе СИ: $Δr_x(t) = 0,20t + \frac{0,020t^2}{2} = 0,20t + 0,010t^2$ (перемещение в м, время в с).

Ответ: Зависимость проекции перемещения от времени имеет вид $Δr_x(t) = 0,20t + 0,010t^2$, где $Δr_x$ измеряется в метрах, а $t$ — в секундах.

Найдите значения v_x и Δr_x в момент времени t = 6,0 с.

Для нахождения проекции скорости в момент времени $t = 6,0 \text{ с}$ подставим это значение в заданное уравнение $v_x(t) = A + Bt$:

$v_x(6,0) = 20 + 2,0 \cdot 6,0 = 20 + 12 = 32 \frac{см}{с}$.
В СИ: $v_x(6,0) = 0,20 + 0,020 \cdot 6,0 = 0,20 + 0,12 = 0,32 \frac{м}{с}$.

Для нахождения проекции перемещения в момент времени $t = 6,0 \text{ с}$ подставим это значение в полученную нами формулу $Δr_x(t) = At + \frac{Bt^2}{2}$:

$Δr_x(6,0) = 20 \cdot 6,0 + \frac{2,0 \cdot (6,0)^2}{2} = 120 + \frac{2,0 \cdot 36}{2} = 120 + 36 = 156 \text{ см}$.
В СИ: $Δr_x(6,0) = 0,20 \cdot 6,0 + \frac{0,020 \cdot (6,0)^2}{2} = 1,2 + \frac{0,020 \cdot 36}{2} = 1,2 + 0,36 = 1,56 \text{ м}$.

Ответ: В момент времени $t = 6,0 \text{ с}$ проекция скорости $v_x = 0,32 \frac{м}{с}$, а проекция перемещения $Δr_x = 1,56 \text{ м}$.

Постройте графики проекций скорости и перемещения шарика.

1. График проекции скорости $v_x(t)$.
Зависимость $v_x(t) = 0,20 + 0,020t$ (в СИ) является линейной. График — прямая линия. Для построения найдем две точки:

• При $t=0 \text{ с}$, $v_x = 0,20 \frac{м}{с}$. Точка (0; 0,20).
• При $t=6,0 \text{ с}$, $v_x = 0,32 \frac{м}{с}$. Точка (6,0; 0,32).

График представляет собой прямую, проходящую через эти точки, начинающуюся на оси ординат в точке 0,20 и возрастающую.

2. График проекции перемещения $Δr_x(t)$.
Зависимость $Δr_x(t) = 0,20t + 0,010t^2$ (в СИ) является квадратичной. График — парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $t^2$ положителен). Для построения найдем несколько точек:

• При $t=0 \text{ с}$, $Δr_x = 0 \text{ м}$. Точка (0; 0).
• При $t=2,0 \text{ с}$, $Δr_x = 0,20 \cdot 2,0 + 0,010 \cdot (2,0)^2 = 0,40 + 0,04 = 0,44 \text{ м}$. Точка (2,0; 0,44).
• При $t=4,0 \text{ с}$, $Δr_x = 0,20 \cdot 4,0 + 0,010 \cdot (4,0)^2 = 0,80 + 0,16 = 0,96 \text{ м}$. Точка (4,0; 0,96).
• При $t=6,0 \text{ с}$, $Δr_x = 1,56 \text{ м}$. Точка (6,0; 1,56).

График представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат и проходящую через вычисленные точки.

Ответ: График $v_x(t)$ — прямая линия, начинающаяся в точке (0; 0,20) и проходящая через точку (6,0; 0,32). График $Δr_x(t)$ — ветвь параболы с вершиной в области отрицательного времени, выходящая из начала координат (0; 0) и проходящая через точку (6,0; 1,56).