Номер 7, страница 54 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

7. Автомобиль первую половину пути двигался равномерно со скоростью $v_1 = 36 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, а вторую — равноускоренно. Определите среднюю скорость движения автомобиля на всем маршруте, если в конце движения скорость $v_2 = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Дано:

$v_1 = 36 \frac{км}{ч} = 36 \cdot \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = 10 \frac{м}{с}$

$v_2 = 20 \frac{м}{с}$

Найти:

$v_{ср}$ — ?

Решение:

Средняя скорость движения определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть весь путь, пройденный автомобилем, равен $S$. По условию, автомобиль проехал два равных участка пути, каждый длиной $s = S/2$.

Время движения на первом участке, где скорость была постоянной и равной $v_1$, составляет:

$t_1 = \frac{s}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$

На втором участке автомобиль двигался равноускоренно. Начальная скорость на этом участке равна скорости на первом участке, то есть $v_1$. Конечная скорость в конце второго участка равна $v_2$.

Для равноускоренного движения путь можно выразить через начальную и конечную скорости и время движения $t_2$ по формуле:

$s = \frac{v_1 + v_2}{2} \cdot t_2$

Отсюда можно выразить время движения на втором участке:

$t_2 = \frac{2s}{v_1 + v_2} = \frac{2(S/2)}{v_1 + v_2} = \frac{S}{v_1 + v_2}$

Общее время движения равно сумме времен на двух участках:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{v_1 + v_2}$

Теперь подставим общее время и общий путь в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S}{2v_1} + \frac{S}{v_1 + v_2}}$

Сократив $S$, получим:

$v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_1 + v_2}} = \frac{1}{\frac{(v_1 + v_2) + 2v_1}{2v_1(v_1 + v_2)}} = \frac{2v_1(v_1 + v_2)}{3v_1 + v_2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$v_1 = 10 \frac{м}{с}$

$v_2 = 20 \frac{м}{с}$

$v_{ср} = \frac{2 \cdot 10 \cdot (10 + 20)}{3 \cdot 10 + 20} = \frac{20 \cdot 30}{30 + 20} = \frac{600}{50} = 12 \frac{м}{с}$

Ответ: $12 \frac{м}{с}$.