Номер 8, страница 54 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

8. Пассажир, стоявший на платформе у начала отправляющегося поезда, определил, что первый вагон прошел мимо него за время $t_1 = 4$ с, а весь поезд — за $t_2 = 16$ с. Сколько вагонов было у поезда? За какое время прошел мимо пассажира последний вагон? Движение поезда считать равноускоренным, а вагоны одинаковыми.

Дано:

Время прохождения первого вагона $t_1 = 4 \text{ с}$
Время прохождения всего поезда $t_2 = 16 \text{ с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Число вагонов в поезде $N - ?$
Время прохождения последнего вагона $\Delta t_{посл} - ?$

Решение:

Поскольку поезд отправляется, его начальная скорость равна нулю ($v_0 = 0$). Движение поезда считается равноускоренным с некоторым ускорением $a$. Путь, пройденный точкой отсчета (началом поезда) за время $t$, определяется формулой для равноускоренного движения:

$S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Так как $v_0 = 0$, формула упрощается:

$S = \frac{at^2}{2}$

Пусть $L$ - длина одного вагона (так как вагоны одинаковые), а $N$ - общее число вагонов в поезде.

Сколько вагонов было у поезда?

Когда мимо пассажира проходит первый вагон, это означает, что начало поезда прошло путь, равный длине одного вагона $L$. Время, за которое это произошло, равно $t_1$.

$L = \frac{at_1^2}{2}$ (1)

Когда мимо пассажира проходит весь поезд, начало поезда проходит путь, равный суммарной длине всех вагонов, то есть $N \cdot L$. Время, за которое это произошло, равно $t_2$.

$N \cdot L = \frac{at_2^2}{2}$ (2)

Чтобы найти $N$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{N \cdot L}{L} = \frac{\frac{at_2^2}{2}}{\frac{at_1^2}{2}}$

Сократив одинаковые величины ($L$ в левой части и $\frac{a}{2}$ в правой), получим соотношение:

$N = \frac{t_2^2}{t_1^2} = \left(\frac{t_2}{t_1}\right)^2$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$N = \left(\frac{16}{4}\right)^2 = 4^2 = 16$

Таким образом, в поезде было 16 вагонов.

Ответ: 16 вагонов.

За какое время прошел мимо пассажира последний вагон?

Время прохождения последнего вагона $\Delta t_{посл}$ можно найти как разность между временем прохождения всего поезда ($N$ вагонов) и временем прохождения поезда без последнего вагона ($N-1$ вагонов).

Время прохождения всего поезда из $N=16$ вагонов нам дано: $t_N = t_2 = 16 \text{ с}$.

Теперь найдем время $t_{N-1}$, за которое мимо пассажира пройдут первые $N-1 = 15$ вагонов. Путь, пройденный поездом за это время, составляет $(N-1) \cdot L$.

$(N-1) \cdot L = \frac{at_{N-1}^2}{2}$ (3)

Снова воспользуемся уравнением (1): $L = \frac{at_1^2}{2}$. Разделим уравнение (3) на уравнение (1):

$\frac{(N-1) \cdot L}{L} = \frac{\frac{at_{N-1}^2}{2}}{\frac{at_1^2}{2}}$

$N-1 = \frac{t_{N-1}^2}{t_1^2}$

Отсюда выразим время прохождения $N-1$ вагонов:

$t_{N-1}^2 = t_1^2 \cdot (N-1) \implies t_{N-1} = t_1 \sqrt{N-1}$

Подставим числовые значения для $N=16$ и $t_1=4 \text{ с}$:

$t_{15} = 4 \cdot \sqrt{16-1} = 4\sqrt{15} \text{ с}$

Теперь можем найти искомое время прохождения последнего (16-го) вагона:

$\Delta t_{посл} = t_N - t_{N-1} = t_{16} - t_{15} = 16 - 4\sqrt{15} \text{ с}$

Для практического понимания можно вычислить приближенное значение:

$\Delta t_{посл} = 16 - 4\sqrt{15} \approx 16 - 4 \cdot 3.873 \approx 16 - 15.492 \approx 0.508 \text{ с}$

Ответ: $16 - 4\sqrt{15} \text{ с}$ (приблизительно $0.51 \text{ с}$).