Номер 1009, страница 184 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$C_1 = 0,50 \text{ мкФ} = 0,50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$U_1 = 0,10 \text{ кВ} = 0,10 \cdot 10^3 \text{ В} = 100 \text{ В}$

$C_2 = 0,40 \text{ мкФ} = 0,40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

$W$

Решение:

Энергия искры $W$ представляет собой энергию, которая выделилась в виде тепла и света при перераспределении заряда между конденсаторами. Эта энергия равна убыли электростатической энергии системы конденсаторов.

1. Определим начальную энергию системы. До соединения второй конденсатор не заряжен, поэтому вся энергия системы сосредоточена в первом конденсаторе:

$W_{нач} = \frac{C_1 U_1^2}{2}$

2. После того как первый конденсатор отключают от источника, его заряд остается постоянным до момента подключения второго конденсатора. Этот заряд равен:

$q_1 = C_1 U_1$

3. При параллельном соединении конденсаторов этот заряд $q_1$ перераспределяется между ними. Поскольку система из двух конденсаторов изолирована, общий заряд сохраняется. Обозначим конечное напряжение на конденсаторах как $U_{кон}$. Оно будет одинаковым для обоих конденсаторов, так как они соединены параллельно.

Общий заряд системы после соединения: $q_{общ} = q_1 = C_1 U_1$.

Общая емкость системы при параллельном соединении:

$C_{общ} = C_1 + C_2$

4. Конечное напряжение на батарее конденсаторов можно найти по формуле:

$U_{кон} = \frac{q_{общ}}{C_{общ}} = \frac{C_1 U_1}{C_1 + C_2}$

5. Конечная энергия системы равна энергии, запасенной в батарее из двух параллельно соединенных конденсаторов:

$W_{кон} = \frac{C_{общ} U_{кон}^2}{2}$

Подставим выражения для $C_{общ}$ и $U_{кон}$:

$W_{кон} = \frac{(C_1 + C_2)}{2} \left( \frac{C_1 U_1}{C_1 + C_2} \right)^2 = \frac{(C_1 + C_2) C_1^2 U_1^2}{2 (C_1 + C_2)^2} = \frac{C_1^2 U_1^2}{2(C_1 + C_2)}$

6. Энергия искры $W$ равна разности начальной и конечной энергии системы:

$W = W_{нач} - W_{кон} = \frac{C_1 U_1^2}{2} - \frac{C_1^2 U_1^2}{2(C_1 + C_2)}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$W = \frac{C_1 U_1^2}{2} \left( 1 - \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right) = \frac{C_1 U_1^2}{2} \left( \frac{C_1 + C_2 - C_1}{C_1 + C_2} \right) = \frac{C_1 U_1^2}{2} \frac{C_2}{C_1 + C_2}$

Таким образом, итоговая формула для расчета энергии искры:

$W = \frac{C_1 C_2 U_1^2}{2(C_1 + C_2)}$

Подставим числовые значения в СИ:

$W = \frac{(0,50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot (0,40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot (100 \text{ В})^2}{2(0,50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} + 0,40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф})} = \frac{0,20 \cdot 10^{-12} \cdot 10^4}{2 \cdot 0,90 \cdot 10^{-6}} \text{ Дж}$

$W = \frac{2 \cdot 10^{-9}}{1,8 \cdot 10^{-6}} \text{ Дж} = \frac{2}{1,8} \cdot 10^{-3} \text{ Дж} \approx 1,11 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$

Округляя до двух значащих цифр, как в условии задачи, получаем $1,1 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$ или $1,1 \text{ мДж}$.

Ответ: $W \approx 1,1 \text{ мДж}$.