Номер 1002, страница 183 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная ёмкость конденсатора – $C_0$

Начальная энергия конденсатора – $W_0$

Диэлектрическая проницаемость пластинки – $\epsilon$

Найти:

Изменение энергии конденсатора $W$ в случаях а) и б).

Решение:

Ёмкость плоского конденсатора без диэлектрика (в вакууме или воздухе) определяется формулой:

$C_0 = \frac{\epsilon_0 S}{d}$

где $\epsilon_0$ – электрическая постоянная, $S$ – площадь обкладок, $d$ – расстояние между ними.

Когда пространство между обкладками полностью заполняется диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, ёмкость конденсатора увеличивается в $\epsilon$ раз:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d} = \epsilon C_0$

Энергия $W$, запасённая в конденсаторе, может быть рассчитана по одной из следующих формул:

$W = \frac{q^2}{2C} = \frac{CU^2}{2} = \frac{qU}{2}$

где $q$ – заряд на обкладках, а $U$ – напряжение между ними. Выбор формулы зависит от того, какая величина остаётся постоянной в процессе.

а) конденсатор отключен от источника напряжения

Если конденсатор заряжен и отключен от источника, он становится электрически изолированной системой. Это означает, что заряд $q$ на его обкладках не может измениться, то есть $q = \text{const}$.

Начальная энергия конденсатора $W_0$ при ёмкости $C_0$ и заряде $q_0$ равна:

$W_0 = \frac{q_0^2}{2C_0}$

После внесения диэлектрика ёмкость становится $C = \epsilon C_0$, а заряд остаётся прежним, $q = q_0$. Новая энергия $W_a$ будет:

$W_a = \frac{q_0^2}{2C} = \frac{q_0^2}{2(\epsilon C_0)} = \frac{1}{\epsilon} \left( \frac{q_0^2}{2C_0} \right) = \frac{W_0}{\epsilon}$

Поскольку для любого диэлектрика диэлектрическая проницаемость $\epsilon > 1$, то запасённая энергия конденсатора уменьшится в $\epsilon$ раз.

Ответ: Энергия конденсатора уменьшится в $\epsilon$ раз, $W_a = \frac{W_0}{\epsilon}$.

б) конденсатор присоединен к источнику напряжения

Если конденсатор остаётся подключенным к источнику напряжения, то напряжение $U$ на его обкладках поддерживается постоянным и равным напряжению источника, то есть $U = \text{const}$.

Начальная энергия конденсатора $W_0$ при ёмкости $C_0$ и напряжении $U_0$ равна:

$W_0 = \frac{C_0 U_0^2}{2}$

После внесения диэлектрика ёмкость становится $C = \epsilon C_0$, а напряжение остаётся прежним, $U = U_0$. Новая энергия $W_b$ будет:

$W_b = \frac{C U_0^2}{2} = \frac{(\epsilon C_0) U_0^2}{2} = \epsilon \left( \frac{C_0 U_0^2}{2} \right) = \epsilon W_0$

Поскольку $\epsilon > 1$, запасённая энергия конденсатора увеличится в $\epsilon$ раз. Увеличение энергии происходит за счёт работы, совершаемой источником напряжения, который переносит дополнительный заряд на обкладки для поддержания постоянного напряжения при возросшей ёмкости.

Ответ: Энергия конденсатора увеличится в $\epsilon$ раз, $W_b = \epsilon W_0$.