Номер 1001, страница 183 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Площадь обкладок конденсатора: $S$

Жесткость пружины: $k$

Начальное расстояние между обкладками: $d_0$

Конечное расстояние между обкладками: $d$

Электрическая постоянная: $\epsilon_0$

Найти:

Разность потенциалов $U$.

Решение:

Когда к обкладкам конденсатора прикладывают разность потенциалов $U$, они притягиваются друг к другу с силой $F_{эл}$. Под действием этой силы верхняя подвижная обкладка смещается вниз, пока сила притяжения не будет уравновешена силой упругости пружины $F_{упр}$.

Сила электрического притяжения между обкладками плоского конденсатора выражается формулой:

$F_{эл} = \frac{\epsilon_0 S U^2}{2d^2}$

где $U$ – разность потенциалов, $S$ – площадь обкладок, $d$ – расстояние между ними, $\epsilon_0$ – электрическая постоянная.

При сближении обкладок с начального расстояния $d_0$ до конечного $d$, верхняя обкладка смещается на расстояние $\Delta x = d_0 - d$. Это смещение вызывает деформацию пружины, и по закону Гука возникает сила упругости:

$F_{упр} = k \cdot \Delta x = k(d_0 - d)$

В состоянии равновесия сила упругости, действующая на верхнюю обкладку вверх, равна силе электрического притяжения, действующей вниз:

$F_{упр} = F_{эл}$

Подставим выражения для сил в условие равновесия:

$k(d_0 - d) = \frac{\epsilon_0 S U^2}{2d^2}$

Теперь выразим из этого уравнения искомую разность потенциалов $U$:

$U^2 = \frac{2d^2 k(d_0 - d)}{\epsilon_0 S}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

$U = \sqrt{\frac{2d^2 k(d_0 - d)}{\epsilon_0 S}} = d \sqrt{\frac{2k(d_0 - d)}{\epsilon_0 S}}$

Ответ: $U = d \sqrt{\frac{2k(d_0 - d)}{\epsilon_0 S}}$.