Номер 995, страница 182 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

a

Дано:

Схема соединения конденсаторов (рис. 104, а).

Емкости конденсаторов: $C_{p1}=C$, $C_{p2}=2C$, $C_{p3}=3C$. (Индексы $p1, p2, p3$ соответствуют номерам 1, 2, 3 на схеме).

Найти:

Электроемкость батареи $C_1$.

Решение:

Для определения эквивалентной емкости проанализируем схему соединений. Обозначим левую клемму как узел A, а правую — как узел B. Узел между конденсаторами 1 и 2 обозначим как D, а узел между 2 и 3 — как E.

В схеме присутствуют проводники, которые соединяют клемму A с узлом E, и узел D с клеммой B. Это означает, что потенциалы этих узлов попарно равны:

$\phi_A = \phi_E$

$\phi_D = \phi_B$

Теперь рассмотрим, между какими узлами с одинаковым потенциалом подключен каждый конденсатор:

1. Конденсатор 1 (емкостью $C$) подключен между узлами A и D. Учитывая, что $\phi_D = \phi_B$, он фактически подключен между клеммами A и B.

2. Конденсатор 2 (емкостью $2C$) подключен между узлами D и E. Учитывая, что $\phi_D = \phi_B$ и $\phi_E = \phi_A$, он фактически подключен между клеммами B и A.

3. Конденсатор 3 (емкостью $3C$) подключен между узлами E и B. Учитывая, что $\phi_E = \phi_A$, он фактически подключен между клеммами A и B.

Таким образом, все три конденсатора оказываются соединенными параллельно. При параллельном соединении общая электроемкость батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов:

$C_1 = C_{p1} + C_{p2} + C_{p3} = C + 2C + 3C = 6C$

Ответ: $C_1 = 6C$.

б

Дано:

Схема соединения конденсаторов (рис. 104, б).

Емкости конденсаторов: $C_{k1}=C$, $C_{k2}=C$, $C_{k3}=3C$, $C_{k5}=2C$, $C_{k6}=3C$. (Индексы соответствуют номерам на схеме).

Найти:

Электроемкость батареи $C_2$.

Решение:

Данная схема представляет собой мостовое соединение конденсаторов (мост Уитстона). Проверим условие баланса моста. Мост является сбалансированным, если выполняется равенство отношений емкостей в его плечах:

$\frac{C_{k1}}{C_{k2}} = \frac{C_{k3}}{C_{k6}}$

Подставим значения емкостей из условия:

$\frac{C}{C} = \frac{3C}{3C}$

$1 = 1$

Условие выполняется, следовательно, мост сбалансирован. В сбалансированном мосте потенциалы точек, между которыми включен конденсатор $C_{k5}$, равны. Это означает, что через конденсатор $C_{k5}$ не будет течь ток, и его можно мысленно удалить из схемы, так как он не влияет на общую емкость.

После удаления конденсатора $C_{k5}$ схема упрощается до двух параллельных ветвей:

Первая (верхняя) ветвь состоит из последовательно соединенных конденсаторов $C_{k1}$ и $C_{k3}$. Ее эквивалентная емкость $C_{верх}$ находится по формуле:

$\frac{1}{C_{верх}} = \frac{1}{C_{k1}} + \frac{1}{C_{k3}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{3C} = \frac{3+1}{3C} = \frac{4}{3C}$

Отсюда $C_{верх} = \frac{3C}{4}$.

Вторая (нижняя) ветвь состоит из последовательно соединенных конденсаторов $C_{k2}$ и $C_{k6}$. Ее эквивалентная емкость $C_{низ}$:

$\frac{1}{C_{низ}} = \frac{1}{C_{k2}} + \frac{1}{C_{k6}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{3C} = \frac{3+1}{3C} = \frac{4}{3C}$

Отсюда $C_{низ} = \frac{3C}{4}$.

Общая электроемкость $C_2$ батареи равна сумме емкостей параллельно соединенных ветвей:

$C_2 = C_{верх} + C_{низ} = \frac{3C}{4} + \frac{3C}{4} = \frac{6C}{4} = \frac{3}{2}C$

Ответ: $C_2 = \frac{3}{2}C$.