Номер 992, страница 181 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Напряжение на первом конденсаторе, $U_1 = 100$ В.

Напряжение на втором конденсаторе, $U_2 = 200$ В.

Электроемкость первого конденсатора, $C_1$.

Электроемкость второго конденсатора, $C_2$.

По условию, $C_1 = C_2 = C$.

Найти:

Напряжение $U_3$ при соединении одноименно заряженными обкладками.

Напряжение $U_4$ при соединении разноименно заряженными обкладками.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения электрического заряда для изолированной системы. Заряд конденсатора связан с его емкостью и напряжением формулой $Q = C \cdot U$.

Соединение одноименно заряженными обкладками

Сначала найдем начальные заряды каждого конденсатора:

Заряд первого конденсатора: $Q_1 = C_1 \cdot U_1 = C \cdot U_1$.

Заряд второго конденсатора: $Q_2 = C_2 \cdot U_2 = C \cdot U_2$.

При соединении одноименно заряженными обкладками (положительная к положительной, отрицательная к отрицательной) система конденсаторов является изолированной. Общий заряд системы до соединения равен сумме зарядов конденсаторов:

$Q_{общ} = Q_1 + Q_2 = C \cdot U_1 + C \cdot U_2 = C(U_1 + U_2)$.

После соединения конденсаторы оказываются соединенными параллельно. Их общая емкость равна $C_{общ} = C_1 + C_2 = C + C = 2C$. Напряжение на батарее конденсаторов установится равным $U_3$.

Общий заряд этой батареи после соединения будет равен $Q'_{общ} = C_{общ} \cdot U_3 = 2C \cdot U_3$.

Согласно закону сохранения заряда, $Q_{общ} = Q'_{общ}$:

$C(U_1 + U_2) = 2C \cdot U_3$.

Отсюда находим напряжение $U_3$:

$U_3 = \frac{C(U_1 + U_2)}{2C} = \frac{U_1 + U_2}{2}$.

Подставим числовые значения:

$U_3 = \frac{100 \text{ В} + 200 \text{ В}}{2} = \frac{300 \text{ В}}{2} = 150 \text{ В}$.

Ответ: $U_3 = 150$ В.

Соединение разноименно заряженными обкладками

При соединении разноименно заряженными обкладками (положительная к отрицательной) общий заряд системы будет равен модулю разности зарядов конденсаторов, так как часть зарядов скомпенсирует друг друга:

$Q_{общ} = |Q_2 - Q_1| = |C \cdot U_2 - C \cdot U_1| = C(U_2 - U_1)$, поскольку $U_2 > U_1$.

Общая емкость соединенных параллельно конденсаторов, как и в первом случае, равна $C_{общ} = 2C$.

Напряжение на батарее установится равным $U_4$. Общий заряд этой батареи после соединения будет равен $Q'_{общ} = C_{общ} \cdot U_4 = 2C \cdot U_4$.

По закону сохранения заряда:

$C(U_2 - U_1) = 2C \cdot U_4$.

Отсюда находим напряжение $U_4$:

$U_4 = \frac{C(U_2 - U_1)}{2C} = \frac{U_2 - U_1}{2}$.

Подставим числовые значения:

$U_4 = \frac{200 \text{ В} - 100 \text{ В}}{2} = \frac{100 \text{ В}}{2} = 50 \text{ В}$.

Ответ: $U_4 = 50$ В.