Номер 998, страница 182 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус обкладок конденсатора: $R = 10$ см

Заряд шарика: $q_1 = -30$ нКл

Заряд, сообщенный конденсатору: $q_2 = 3,0$ мкКл

Отношение сил натяжения нити: $T_2 = 2T_1$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8$ м/с²

Электрическая постоянная: $\varepsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

Перевод в систему СИ:

$R = 0,1$ м

$q_1 = -30 \cdot 10^{-9}$ Кл

$q_2 = 3,0 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

Массу шарика $m$.

Решение:

1. В начальном состоянии, когда конденсатор не заряжен, на шарик действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T_1$, направленная вертикально вверх. Шарик находится в равновесии, поэтому, согласно первому закону Ньютона, сумма сил равна нулю. В проекции на вертикальную ось:

$T_1 - mg = 0$

Отсюда начальная сила натяжения нити равна:

$T_1 = mg \quad (1)$

2. Когда конденсатору сообщают заряд $q_2$, между его обкладками создается однородное электрическое поле. На шарик, имеющий заряд $q_1$, начинает действовать электрическая сила $F_э$. По условию, сила натяжения нити увеличилась вдвое, то есть $T_2 = 2T_1$. Увеличение силы натяжения означает, что электрическая сила сонаправлена с силой тяжести, то есть направлена вертикально вниз.

3. Запишем условие равновесия для второго состояния. Теперь на шарик действуют три силы: сила тяжести $mg$ (вниз), электрическая сила $F_э$ (вниз) и новая сила натяжения нити $T_2$ (вверх). Условие равновесия в проекции на вертикальную ось:

$T_2 - mg - F_э = 0$

Отсюда новая сила натяжения нити:

$T_2 = mg + F_э \quad (2)$

4. Теперь объединим полученные уравнения, используя условие $T_2 = 2T_1$. Подставим в него выражения (1) и (2):

$mg + F_э = 2(mg)$

Вычитая $mg$ из обеих частей уравнения, получаем:

$F_э = mg \quad (3)$

5. Электрическая сила, действующая на заряд в поле, определяется как $F_э = |q_1|E$. Напряженность электрического поля $E$ внутри плоского воздушного конденсатора равна $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$, где $\sigma$ – поверхностная плотность заряда, а $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная. Поверхностная плотность заряда – это отношение заряда обкладки $q_2$ к ее площади $S$: $\sigma = \frac{q_2}{S}$. Площадь круглой обкладки с радиусом $R$ равна $S = \pi R^2$.

Таким образом, напряженность поля:

$E = \frac{q_2}{\varepsilon_0 S} = \frac{q_2}{\varepsilon_0 \pi R^2}$

И электрическая сила:

$F_э = |q_1| \frac{q_2}{\varepsilon_0 \pi R^2} \quad (4)$

6. Приравняем выражения для электрической силы из уравнений (3) и (4):

$mg = \frac{|q_1| q_2}{\varepsilon_0 \pi R^2}$

Выразим из этого уравнения массу шарика $m$:

$m = \frac{|q_1| q_2}{g \varepsilon_0 \pi R^2}$

7. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m = \frac{|-30 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}| \cdot 3,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 3,14 \cdot (0,1 \text{ м})^2}$

$m = \frac{90 \cdot 10^{-15}}{9,8 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 3,14 \cdot 0,01} \approx \frac{90 \cdot 10^{-15}}{2,72 \cdot 10^{-12}} \approx 33,1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Масса шарика составляет приблизительно 33,1 г.

Ответ: $m \approx 33,1$ г.