Номер 999, страница 183 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$q = 30 \text{ нКл} = 30 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$\alpha = 45^\circ$

$m = 4,0 \text{ г} = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$S = 3,1 \text{ дм}^2 = 3,1 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$

$\varepsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$ (электрическая постоянная)

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$q_1$

Решение:

На шарик, подвешенный в поле конденсатора, действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити, и электрическая сила $\vec{F_e}$, действующая со стороны электрического поля и направленная горизонтально.

Шарик находится в равновесии, поэтому по первому закону Ньютона векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю:

$\vec{F_g} + \vec{T} + \vec{F_e} = 0$

В проекциях на оси координат (ось OY — вертикально вверх, ось OX — горизонтально в сторону отклонения) условие равновесия записывается в виде системы уравнений:

Ось OX: $T \sin \alpha - F_e = 0 \implies T \sin \alpha = F_e$

Ось OY: $T \cos \alpha - F_g = 0 \implies T \cos \alpha = F_g$

Разделим первое уравнение на второе, чтобы исключить силу натяжения нити $T$:

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{F_e}{F_g}$

$\tan \alpha = \frac{F_e}{F_g}$

Сила тяжести равна $F_g = mg$, а электрическая сила, действующая на заряд $q$ в электрическом поле с напряженностью $E$, равна $F_e = qE$. Подставим эти выражения в полученное уравнение:

$\tan \alpha = \frac{qE}{mg}$

Отсюда можно выразить напряженность электрического поля $E$:

$E = \frac{mg \tan \alpha}{q}$

Напряженность однородного электрического поля внутри плоского воздушного конденсатора связана с зарядом $q_1$ на одной из его обкладок и площадью обкладки $S$ по формуле:

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{q_1}{\varepsilon_0 S}$

где $\sigma$ — поверхностная плотность заряда, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

Приравнивая два выражения для напряженности $E$, получаем:

$\frac{q_1}{\varepsilon_0 S} = \frac{mg \tan \alpha}{q}$

Из этого уравнения выражаем искомый заряд конденсатора $q_1$:

$q_1 = \frac{mg S \varepsilon_0 \tan \alpha}{q}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Учитывая, что $\tan 45^\circ = 1$:

$q_1 = \frac{4,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 3,1 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 1}{30 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}$

$q_1 = \frac{(4,0 \cdot 9,8 \cdot 3,1 \cdot 8,85) \cdot 10^{-3-2-12}}{30 \cdot 10^{-9}} \text{ Кл} = \frac{1075,284 \cdot 10^{-17}}{30 \cdot 10^{-9}} \text{ Кл}$

$q_1 \approx 35,84 \cdot 10^{-8} \text{ Кл} \approx 3,6 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

Переведем результат в микрокулоны: $3,6 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} = 0,36 \text{ мкКл}$.

Ответ: Заряд, который нужно сообщить конденсатору, равен $q_1 \approx 0,36 \text{ мкКл}$.