Номер 1003, страница 183 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$S = 1,0 \text{ дм}^2$
$\varepsilon = 2,0$
$U = 0,30 \text{ кВ}$
$d_1 = 5,0 \text{ см}$
$d_2 = 1,0 \text{ см}$
$\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$ (электрическая постоянная)

Перевод в систему СИ:
$S = 1,0 \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 1,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$
$U = 0,30 \cdot 10^3 \text{ В} = 300 \text{ В}$
$d_1 = 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
$d_2 = 1,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

$A$

Решение

Работа внешних сил по изменению расстояния между пластинами конденсатора равна изменению его электростатической энергии:

$A = W_2 - W_1$,

где $W_1$ – начальная энергия конденсатора, а $W_2$ – конечная энергия.

1. Сначала найдем параметры конденсатора в начальном состоянии. Емкость плоского конденсатора определяется формулой:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

Начальная емкость при расстоянии $d_1$:

$C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1}$

Конденсатор был подключен к источнику напряжения $U$, поэтому он зарядился до заряда $q$:

$q = C_1 U = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S U}{d_1}$

2. После отключения от источника заряд на пластинах конденсатора остается постоянным ($q = \text{const}$).

Энергию конденсатора с постоянным зарядом удобно выражать через формулу:

$W = \frac{q^2}{2C}$

Начальная энергия конденсатора:

$W_1 = \frac{q^2}{2C_1}$

3. Когда расстояние между пластинами уменьшают до $d_2$, емкость изменяется и становится равной:

$C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_2}$

Конечная энергия конденсатора при этом:

$W_2 = \frac{q^2}{2C_2}$

4. Теперь можем найти работу внешних сил:

$A = W_2 - W_1 = \frac{q^2}{2C_2} - \frac{q^2}{2C_1} = \frac{q^2}{2} \left( \frac{1}{C_2} - \frac{1}{C_1} \right)$

Подставим выражения для емкостей $C_1$ и $C_2$:

$\frac{1}{C_1} = \frac{d_1}{\varepsilon \varepsilon_0 S}$ и $\frac{1}{C_2} = \frac{d_2}{\varepsilon \varepsilon_0 S}$

$A = \frac{q^2}{2} \left( \frac{d_2}{\varepsilon \varepsilon_0 S} - \frac{d_1}{\varepsilon \varepsilon_0 S} \right) = \frac{q^2}{2\varepsilon \varepsilon_0 S} (d_2 - d_1)$

Теперь подставим выражение для заряда $q$:

$A = \frac{1}{2\varepsilon \varepsilon_0 S} \left( \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S U}{d_1} \right)^2 (d_2 - d_1) = \frac{1}{2\varepsilon \varepsilon_0 S} \frac{\varepsilon^2 \varepsilon_0^2 S^2 U^2}{d_1^2} (d_2 - d_1)$

После упрощения получаем:

$A = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S U^2}{2 d_1^2} (d_2 - d_1)$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$A = \frac{2,0 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 1,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 \cdot (300 \text{ В})^2}{2 \cdot (5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2} (1,0 \cdot 10^{-2} \text{ м} - 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м})$

$A = \frac{2,0 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{-2} \cdot 9 \cdot 10^4}{2 \cdot 25 \cdot 10^{-4}} (-4,0 \cdot 10^{-2})$

$A = \frac{15,93 \cdot 10^{-9}}{50 \cdot 10^{-4}} (-4,0 \cdot 10^{-2}) = \frac{1,593 \cdot 10^{-8}}{5 \cdot 10^{-3}} (-4,0 \cdot 10^{-2})$

$A = 0,3186 \cdot 10^{-5} \cdot (-4,0 \cdot 10^{-2}) \approx -1,27 \cdot 10^{-7} \text{ Дж}$

Отрицательный знак означает, что внешние силы совершают отрицательную работу. Это происходит потому, что разноименно заряженные пластины притягиваются друг к другу, и электрическое поле само совершает работу по их сближению. Внешняя сила в данном случае должна препятствовать ускоренному сближению, то есть она направлена против перемещения.

Ответ: $A \approx -1,27 \cdot 10^{-7} \text{ Дж}$ (или $-0,127 \text{ мкДж}$).